Wiederholungsfragen

Kapitel 1: Metrische Räume

 

1. Was versteht man unter einer Metrik?
2. Was versteht man unter einem metrischen Raum?
3. Wie ist die Euklidische Metrik im \( \mathbb R^n \) definiert?
4. Was versteht man unter einer Relativmetrik?
5. Was versteht man unter einer Produktmetrik?
6. Wann heißt eine Teilmenge \( U\subseteq X \) eines metrischen Raumes \( (X,d) \) offen?
7. Wie lautet die \( \varepsilon \)-\( \delta \)-Definition der Stetigkeit?
8. Wie lautet die Definition der Folgenstetigkeit?
9. Wie lautet das topologische Stetigkeitskriterium?
10. Wann heißt ein metrischer Raum separabel?

 

Kapitel 2: Kompakte Mengen

 

1. Wann heißt eine Teilmenge \( K\subseteq X \) eines metrischen Raumes \( (X,d) \) kompakt?
2. Wann heißt eine Teilmenge \( K\subseteq X \) eines metrischen Raumes \( (X,d) \) folgenkompakt?
3. Wann heißt eine Teilmenge \( K\subseteq X \) eines metrischen Raumes \( (X,d) \) präkompakt?
4. In welcher Beziehung stehen diese drei Begriffe?
5. Wie lautet der Satz von Heine-Borel?
6. Wie lautet der klassische Satz von Heine-Borel?
7. Welchen Zusammenhang zwischen Präkompaktheit und Teilfolgenkonvergenz kennen Sie?
8. Wie lautet der Fundamentalsatz von Weierstra\ss{}?

 

Kapitel 3: Normierte Räume

 

1. Was versteht man unter einer Norm?
2. Was versteht man unter einem normierten Raum?
3. Wie ist die Euklidische Norm im \( \mathbb R^n \) definiert?
4. Wann heißen zwei Normen äquivalent?
5. Sind sämtliche Normen im \( \mathbb R^n \) äquivalent?
6. Was versteht man unter einem Banachraum?
7. Wie lautet das Lemma von Riesz?
8. Wie lautet der Kompaktheitssatz von Riesz?