FRAKTALESEMINAR

Themen

 

 

Vortrag 1: Maße und Massenverteilung

  • Definition äußeres Maß, Sigma-Algebra-Eigenschaften
  • Beispiele
  • Definition Massenverteilung
  • Beispiele

[F1], Abschnitt 1.3

[GL], Abschnitte 14.1, 14.5

[MG], Kapitel 2

 

Vortrag 2: Hausdorffmaß und Hausdorffdimension

  • Definition delta-approximatives Hausdorffmaß, Hausdorffmaß
  • Skalierungseigenschaften unter Lipschitzabbildungen
  • Motivation und Definition Hausdorffdimension
  • Eigenschaften unter Lipschitzabbildungen
  • Bemerkung zu total unzusammenhängenden Mengen

[F1], Abschnitt 2.1, 2.2

[F3], Kapitel 3

[GL], Abschnitte 18.1, 18.2

[MG], Kapitel 2, 3

 

Vortrag 3: Cantorstaub

  • Skizze, projizierbarer Charakter und Lipschitzeigenschaften
  • Ermittlung der Hausdorffdimension
  • weitere Beispiele dieser Art

[F1], Beispiel 2.6

[GL], Abschnitt 18.3

 

Vortrag 4: Cantorsche Mittel-Drittel-Menge

  • heuristische Berechnung von Maß und Dimension
  • Definition der Ähnlichkeitsdimension
  • Vergleich mit der Cantor-Smith-Volterra-Menge

[F1], Beispiel 2.7

[F2], Abschnitt 1.5

 

Vortrag 5: Boxzähldimension

  • gewünschte Eigenschaften einer Dimension
  • Definition Boxzähldimension
  • äquivalente Definitionen
  • Anwendung auf Cantors Mittel-Drittel-Menge

[F1], Abschnitt 3.1

[F3], Kapitel 3

 

Vortrag 6: Weiteres zur Boxzähldimension

  • Eigenschaften, Probleme
  • Anwendung auf Example 3.5
  • Experimentelle Boxzähldimension
  • Anwendung auf ein praktisches Problem

[F1], Abschnitt 3.2

[F3], Kapitel 3

[GL], Abschnitt 18.3

 

Vortrag 7: Die Weierstraßkurve

  • Konstruktion
  • Stetigkeit, Nirgends-Differenzierbarkeit

[F1], Abschnitt 11.1

[GL], Abschnitt 18.3

[TH], Kapitel 2

[WE]

 

Vortrag 8: Weitere nirgends differenzierbare Kurven

  • weitere Beispiele aus J. Thim
  • oder Abschnitt 11.1 aus Falconer vertiefen

[F1], Abschnitt 11.1

[TH], Kapitel 2

 

Vortrag 9: Die Hilbertkurve

  • iterative Konstruktion
  • Stetigkeit, Nirgends-Differenzierbarkeit
  • die Kurve ist flächenfüllend
  • Anzahl der Urbildpunkte

[GL], Abschnitt 18.3

{GL], Gallery, flaechenfuellend

[SA], Kapitel 2

[H1], [H2]

 

Vortrag 10: Weitere flächenfüllende Kurve

  • Die Kurve von Moore
  • Die Kurve von Peano
  • Die Kurve von Polya

[SA], Kapitel 3 und 4

[LA], [MO]

 

Vortrag 11: Iterierte Funktionensysteme

  •  Kontraktionen und IFS
  • Attraktoren
  • Hausdorffmetrik
  • Theorem 9.1

[F1], Abschnitt 9.1

 

Vortrag 12: Selbstähnliche Mengen

  • Definition von Selbstähnlichkeit
  • Offene-Mengen-Bedingung
  • Berechnung der Hausdorffdimension
  • Beispiele

[F2], Abschnitt 9.1, 9.2

[F3], Kapitel 2

 

Vortrag 13: Das Collage-Theorem

  • Formulierung und Beweis
  • Beispiel, z.B. aus [B1], [B2]

[F1], Abschnitt 9.5

{B1], {B2]

 

Vortrag 14: Barnsleys Chaosspiel

  • Motivation Beweisidee
  • Beispiele

[B2], Kapitel 4

[F3], Seiten 28-29

[MA]

 

Vortrag 15: Produkte von Fraktalen

  • Motivation
  • Verhalten der Hausdorff- und Boxdimension

[F1], Abschnitt 7.1

 

Vortrag 16: Beispiele von Produkten von Fraktalen...

  • gleichmäßige Cantormengen
  • Cantorziel
  • Cantorvorhang

[F1], Abschnitt 7.1

 

Vortrag 17: Einführung in die Theorie der Juliamengen

  • Konstruktion
  • wichtige Eigenschaften
  • etwas Funktionentheorie

[F1], Kapitel 14

[F3], Kapitel 4

 

Vortrag 18: Anwendung auf die Geometrie von Zahlen

  • Maß und Dimension von Zahlenmengen

[F1], Kapitel 10

 

 

[B1] Barnsley, M.F.: Fractals everywhere, 1993

[B2] Barnyley, M.F.: Superfractals

[F1] Falconer, K.: Fractal geometry, 2. Auflage, 2003

[F2] Falconer, K.: The geometry of fractal sets, 2002

[F3] Falconer, K.: Fractals, 2013

[GL] Vorlesung LA WS2020

[H1] Hilbert, D.: Ueber die stetige Abbildung einer Linie ... (Verhandlungen), 1891

[H2] Hilbert, D.: Über die stetige Abbildung einer Linie ...(Arbeit), 1891

[LA] Lax, P.D.: The differentiability of Polya's function, 1973

[MA] Martyn, T.: The chaos game revisited

[MG] Morgan, F.: Geometric measure theory, 1989

[MO] Moore, E.H.: On certain crinkly curves, 1900

[SA] Space-filling curves, 1994

[TH] Thim, J.: Continuous, nowhere differentiable functions, 2003

[WE] Weierstraß, K.: Über continuirliche Functionen eines reellen ..., 1872