MATERIALIEN ZU DEN GEWÖHNLICHEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
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Vorlesungsinhalt
Teil VII: Praxis gewöhnlicher Differentialgleichungen
21. Elementare Lösungsmethoden
21.1 Erste Begriffe
21.1.1 Der Begriff der gewöhnlichen Differentialgleichung
21.1.2 Anfangswertprobleme und Randwertprobleme
21.1.3 Wiederholungsfragen
21.2 Beispiele aus Natur und Technik
21.2.1 Radioaktiver Zerfall
21.2.2 Mathematisches Pendel
21.2.3 Das Friedmannsche Modell
21.2.4 Rotationssymmetrische Willmoreflächen
21. 3 Elementare Lösungsmethoden I
21.3.1 Das Definitionsintervall \( I \)
21.3.2 Die Gleichung \( y'=f(x) \)
21.3.3 Die Gleichung \( y'=g(y) \)
21.3.4 Die Gleichung \( y'=f(x)g(y) \)
21.3.5 Wiederholungsfragen
21.4 Elementare Lösungsmethode II
21.4.1 Die Gleichung \( y'=f(ax+by+c) \)
21.4.2 Die Gleichung \( y'=f(x^{-1}y) \)
21.4.3 Wiederholungsfragen
22. Lineare Gleichungen und Systeme
22.1 Lineare Gleichungen erster Ordnung
22.1.1 Homogene Gleichungen
22.1.2 Inhomogene Gleichungen
22.1.3 Das Superpositionsprinzip
22.1.4 Anwendung: Die Bernoulligleichung
22.1.5 Anwendung: Die Riccatigleichung
22.2 Systeme von Differentialgleichungen
22.2.1 Ein Existenz- und Eindeutigkeitssatz
22.2.2 Homogene lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten
22.2.3 Lösungsstrategie
22.2.4 Erstes Beispiel
22.2.5 Zweites Beispiel
22.2.6 Wiederholungsfragen
22.3 Gleichungen höherer Ordnung
22.3.1 Überführung in Systeme erster Ordnung
22.3.2 Ein Existenz- und Eindeutigkeitssatz
22.3.3 Die Gleichung \( y''=f(x,y') \)
22.3.4 Die Gleichung \( y''=f(y,y') \)
22.3.5 Die Gleichung \( y''=f(y) \)
22.3.6 Lineare Gleichungen höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten
22.3.7 Wiederholungsfragen
23. Exakte Differentialgleichungen
23.1 Exakte Differentialgleichungen
23.1.1 Ein einführendes Beispiel
23.1.2 Differentialgleichungen als Differentialformen
23.1.3 Definition exakter Differentialgleichungen
23.1.4 Ein Existenzsatz
23.1.5 Wiederholungsfragen
23.2 Integrabilitätsbedingung und Eulerscher Multiplikator
23.2.1 Eine Integrabilitätsbedingung
23.2.2 Praktische Bestimmung einer Stammfunktion
23.2.3 Die Eulersche Multiplikatorregel
23.2.4 Wiederholungsfragen
Teil VIII: Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen
24. Existenz und Eindeutigkeit
24.1 Operatoren und Funktionale
24.1.1 Normen stetiger Funktionen
24.1.2 Operatoren und Funktionale
24.1.3 Wiederholungsfragen
24.2 Der Satz von Picard-Lindelöf
24.2.1 Der Banachsche Fixpunktsatz
24.2.2 Der Satz von Picard-Lindelöf
24.2.3 Fortsetzbarkeit von Lösungen
24.2.4 Weitere Bemerkungen
24.2.5 Wiederholungsfragen
24.3 Der Existenzsatz von Peano
24.3.1 Einleitung
24.3.2 Der Auswahlsatz von Arzela-Ascoli
24.3.3 Beweis des Existenzsatzes von Peano
24.3.4 Wiederholungsfragen
25. Abhängigkeit der Lösungen von den Daten
25.1 Das Gronwallsche Lemma
25.1.1 Problemstellung
25.1.2 Eine Integralungleichung
25.1.3 Das Gronwallsche Lemma
25.1.4 Eine Stabilitätsungleichung
25.1.5 Bemerkungen
25.1.6 Wiederholungsfragen
26.1 Randwertprobleme für lineare Gleichungen zweiter Ordnung
26.1.1 Einleitung
26.1.2 Der homogene Fall mit konstantem Koeffizienten
26.1.3 Ein Eigenwertproblem
26.1.4 Wiederholungsfragen
26.2 Eine Fredholmsche Alternative
26.2.1 Eindeutige Lösbarkeit linearer Probleme
26.2.2 Ein Beispiel
26.2.3 Wiederholungsfragen
26.3 Maximumprinzipien und Stabilität
26.3.1 Maximum-Minimum-Prinzip
26.3.2 Eine Abschätzung der Supremumsnorm
26.3.3 Eine Stabilitätsungleichung