Hausaufgabenblatt 1
Aufgabe HA 1 (Wichtige Beweisprinzipien)
Beweisen Sie vermittels Wahrheitstabellen, dass es sich bei den folgenden Aussagen um Tautologien handelt.
| (i) | Satz zum modus ponens | \( (a\to b)\wedge a\to b \) |
| (ii) | Satz zum modus tollens | \( (a\to b)\wedge\neg b\to\neg a \) |
| (iii) | Satz zum modus barbara | \( (a\to b)\wedge(b\to c)\to(a\to c) \) |
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Aufgabe HA 2 (Übung zu den Mengenoperationen)
Wir betrachten die Menge \( \Omega=\{0,1,2,3,4,5,6\} \) und die Teilmengen \[ A:=\{1,2,3\}\,,\quad B:=\{2,3,4\}\,. \] Ermitteln Sie \[ \Omega\setminus A,\quad \Omega\setminus B,\quad A\cup B,\quad A\cap B,\quad A\setminus B,\quad B\setminus A. \]
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Aufgabe HA 3 (Ein Beispiel zum kartesischen Produkt)
Ermitteln Sie die kartesischen Produkte \[ A\times B \quad\text{und}\quad B\times A \] für die beiden Mengen \[ A:=\{1,2,3,4\} \quad\text{und}\quad B:=\{a,b,c\}\,. \]
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Aufgabe HA 4 (Zur Distributivität der Mengenoperationen)
Es seien \( A, \) \( B \) und \( C \) drei Mengen. Beweisen Sie die Mengenidentität \[ A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C). \]
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Aufgabe HA 5 (Injektiv und surjekiv)
Es seien \( A \) und \( B \) zwei nichtleere Mengen, und es seien \( f\colon A\to B \) und \( g\colon B\to A \) zwei Abbildungen mit \[ g\circ f(a)=a\quad\text{für alle}\ a\in A \] mit der Setzung \( g\circ f(a):=g(f(a)) \) für die Verkettung von \( g \) und \( f. \) Beweisen Sie:
| (i) | \( f \) ist injektiv |
| (ii) | \( g \) ist surjektiv |
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