Hausaufgabenblatt 2
Aufgabe HA 6 (Eine Summe zweier Wurzelausdrücke)
Beweisen Sie, dass die folgende Zahl nicht rational ist \[ \sqrt{2}+\sqrt{6}\,. \]
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Aufgabe HA 7 (Inverses der komplexen Multiplikation)
Beweisen Sie: Zu jedem \( z\in\mathbb C\setminus\{0\} \) stellt \[ z^{-1}=\left(\frac{x}{x^2+y^2}\,,\frac{-y}{x^2+y^2}\right),\quad x^2+y^2\not=0, \] die zugehörige multiplikative Inverse dar, d.h. es gilt \[ z\cdot z^{-1}=1. \]
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Aufgabe HA 8 (Bestimmen von multiplikativen Inversen)
Bestimmen Sie die multiplikativen Inversen folgender komplexer Zahlen.
| (i) | \( z=(5,-1) \) |
| (ii) | \( z=(13,8) \) |
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Aufgabe HA 9 (Bestimmen von Real- und Imaginärteil)
Welche komplexen Zahlen \( z=x+iy \) genügen der Identität \[ -x+4iy+3ix-2y=-6i+4\,? \]
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Aufgabe HA 10 (Lösen quadratischer Gleichungen)
Durch Anwenden der bekannten Lösungsformel für quadratische Gleichungen bestimme man die komplexwertigen Lösungen folgender Gleichungen.
| (i) | \( z^2-5z+17=0 \) |
| (ii) | \( -2z^2-17z=128 \) |
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Aufgabe HA 11 (Potenzen komplexer Zahlen)
| (i) | Ausgehend von \( i^2=-1, \) \( i^3=i^2\cdot i=-i \) usw. sind zu ermitteln |
\[ i^4\,,\quad i^5\,,\quad i^6\,,\quad i^7\,,\quad i^8\,. \]
| Welche Regelmäßigkeit erkennen Sie für die Potenzen \( i^n \) für \( n=1,2,3,4,\ldots? \) | |
| (ii) | Vereinfachen Sie den Ausdruck |
\[ z=2+5i+9i^3+i^{10}+i^{14}-i^{17}+(-i)^{23}\,. \]
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