Präsenzblatt 1
Aufgabe PA 1 (de Morgansche Gesetze der Aussagenlogik)
Beweisen Sie die folgenden de Morganschen Gesetze der Aussagenlogik vermittels einer Wahrheitstabelle.
| (i) | \( \neg(a\wedge b)\equiv\neg a\vee\neg b \) |
| (ii) | \( \neg(a\vee b)\equiv\neg a\wedge\neg b \) |
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Aufgabe PA 2 (de Morgansche Gesetze der Mengenlehre)
Beweisen Sie die folgenden de Morganschen Gesetze der Mengenlehre.
| (i) | \( X\setminus(A\cup B)=(X\setminus A)\cap(X\setminus B) \) |
| (ii) | \( X\setminus(A\cap B)=(X\setminus A)\cup(X\setminus B) \) |
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Aufgabe PA 3 (Surjektivität, Injektivität, Bijektivität)
Finden Sie Mengen \( A \) und \( B, \) so dass die Abbildung \[ f\colon A\longrightarrow B,\quad f(x):=x^2\,, \]
| (i) | surjektiv, aber nicht injektiv, |
| (ii) | injektiv, aber nicht surjektiv, |
| (iii) | bijektiv ist. |
Fertigen Sie jeweils eine Skizze an, und begründen Sie.
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Aufgabe PA 4 (Gleichmächtigkeit von Mengen)
Begründen Sie, dass die Mengen \[ A=\{a,b,c\} \quad\text{und}\quad B=\{1,2,3\} \] gleichmächtig sind. Wählen Sie dazu eine geeignete bijektive Abbildung \( f\colon A\to B, \) und begründen Sie die Bijektivität. Geben Sie Bilder und Urbilder der Umkehrabbildung \( f^{-1} \) an.
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