Präsenzblatt 3
Aufgabe PA 9 (Galileis Paradoxon)
Einerseits gibt es weniger Quadratzahlen, also Zahlen der Form \( n^2 \) mit \( n\in\mathbb N, \) als natürliche Zahlen, da alle Quadratzahlen natürlich sind, aber z.B. die Zahl \( 3 \) kein Quadrat ist. Andererseits, so argumentierte Galilei, gibt es „genau so viele“ Quadratzahlen wir natürliche Zahlen. Was könnte Galileis Argument gewesen sein? Gibt es einen Widerspruch?
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Aufgabe PA 10 (Kreuzprodukte abzählbarer Mengen sind abzählbar)
Es seien \( A=\{a_1,a_2,\ldots\} \) und \( B=\{b_1,b_2,\ldots,\} \) zwei abzählbar unendliche Mengen. Verdeutlichen Sie durch ein geeignetes geometrisches Schema, dass dann auch das Kreuzprodukt \[ A\times B:=\{(a,b)\,:\,a\in A,\ b\in B\} \] abzählbar unendlich ist.
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Aufgabe PA 11 (Zum Absolutbetrag)
Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
| (i) | Es gilt \( |x|\ge 0 \) für alle \( x\in\mathbb R. \) |
| (ii) | Es gilt \( |x|\le a \) mit einem reellen \( a\ge 0 \) genau dann, wenn \( -a\le x\le a. \) |
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Aufgabe PA 12 (Summe der ersten \( n \) Quadratzahlen)
Beweisen Sie vermittels vollständiger Induktion \[ \sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\quad\mbox{für alle}\ n=1,2,3,\ldots \]
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