AXIOME DER KONGRUENZ
Wenn \( A, \) \( B \) zwei verschiedene Punkte auf einer Geraden \( a \) und ferner \( A' \) ein von \( A \) und \( B \) verschiedener Punkt auf derselben oder einer anderen Geraden \( a' \) ist, so kann man auf einer gegebenen Seite der Geraden \( a' \) von \( A' \) stets einen und nur einen Punkt \( B' \) finden, so dass die Strecke \( AB \) der Strecke \( A'B' \) kongruent oder gleich ist, in Zeichen \[ AB \equiv A'B'\,. \] Jede Strecke ist sich selbst kongruent, d.h. es ist stets \[ AB \equiv AB\quad\mbox{und}\quad AB \equiv BA. \]
Wenn eine Strecke \( AB \) sowohl der Strecke \( A'B' \) als auch der Strecke \( A''B'' \) kongruent ist, so ist auch \( A'B' \) der Strecke \( A''B'' \) kongruent, d.h. wenn \[ AB \equiv A'B'\quad\mbox{und}\quad AB \equiv A''B''\,, \] so ist auch \[ A'B' \equiv A''B''\,. \]
Es seien \( AB \) und \( BC \) zwei Strecken ohne gemeinsame Punkte auf der Geraden \( a \) und ferner \( A'B' \) und \( B'C' \) zwei Strecken auf derselben oder einer anderen Geraden \( a' \) ebenfalls ohne gemeinsame Punkte. Wenn dann \[ AB \equiv A'B'\quad\mbox{und}\quad BC\equiv B'C' \] ist, so ist auch stets \[ AC \equiv A'C'\,. \]
Es seien ein Winkel \( \angle(h,k) \) in einer Ebene \( \alpha \) und eine Gerade \( a' \) in einer Ebene \( \alpha', \) sowie eine bestimmte Seite von \( a' \) auf \( \alpha' \) gegeben. Es bedeute \( h' \) einen Halbstrahl der Geraden \( a', \) der vom Punkt \( O' \) ausgeht. Dann gibt es in der Ebene \( \alpha' \) einen und nur einen Halbstrahl \( k', \) so dass der Winkel \( \angle(h,k) \) kongruent oder gleich dem Winkel \( \angle(h',k') \) ist und zugleich alle inneren Punkte des Winkels \( \angle(h',k') \) auf der gegebenen Seite von \( a' \) liegen, in Zeichen \[ \angle(h,k) \equiv \angle(h',k'). \] Jeder Winkel ist sich selbst kongruent, d.h. es gelten stets \[ \angle(h,k) \equiv \angle(h,k)\quad\mbox{und}\quad \angle(h,k) \equiv \angle(k,h). \]