GRUNDSÄTZE UND DEFINITIONEN VON DER
GERADEN LINIE
Bedeutung der Grundsätze
Die Euklidische Geometrie verlangt, dass zwei verschiedene Punkte stets durch eine gerade Linie verbunden werden können. Pasch betont in dieser Forderung die Unbestimmtheit der Begrenzung einer solchen geraden Linie, d.h. man muss sie sich einerseits als unbegrenzt vorstellen, aber andererseits entspricht das keinem wahrnehmbaren Objekt.
Vielmehr entspricht der Wahrnehmung die gerade Strecke (bzw. einfach nur Strecke) zwischen zwei Punkten \( A \) und \( B \) bzw. gleichermaßen zwischen \( B \) und \( A, \) ihren
Endpunkten.
Ein Punkt \( C \) gehört der Strecke \( AB \) an, wenn er entweder innerhalb dieser Strecke liegt oder mit einem ihrer Endpunkte übereinstimmt.
Darstellung der Grundsätze
Grundsatz 1
Zwischen zwei Punkten kann man stets eine Strecke ziehen, und zwar nur eine.
\[ (A,B\in{\mathcal P})\longrightarrow(\mbox{es gibt genau ein}\ AB\in{\mathcal S}). \]
Grundsatz 2
Man kann stets einen Punkt angeben, der innerhalb einer Strecke liegt.
\[ (B\in{\mathcal P}\ \mbox{und}\ AB\in{\mathcal S})\longrightarrow(\mbox{es gibt ein}\ C\in{\mathcal P}\ \mbox{mit}\ C\in AB). \]
Grundsatz 3
Liegt der Punkt \( C \) innerhalb der Strecke \( AB, \) so liegt der Punkt \( A \) außerhalb der Strecke \( BC. \) Ebenso liegt der Punkt \( B \) außerhalb der Strecke \( AC.
\)
\[ (C\in AB)\longrightarrow(A\not\in BC\ \mbox{und}\ B\not\in AC). \]
Grundsatz 4
Liegt der Punkt \( C \) innerhalb der Strecke \( AB, \) so sind alle Punkte der Strecke \( AC \) zugleich Punkte der Strecke \( AB. \) Ebenso sind alle Punkte der Strecke \( BC \) zugleich Punkte der Strecke \( AB. \)
Anmerkung:
Liegt der Punkt \( C \) innerhalb der Strecke \( AB, \) der Punkt \( D \) innerhalb der Strecke \( AC \) oder der Strecke \( BC, \) so liegt \( D \) auch innerhalb der Strecke \( AB.
\)
Grundsatz 5
Liegt der Punkt \( C \) innerhalb der Strecke \( AB, \) so kann ein Punkt, der keiner der Strecken \( AC \) und \( BC \) angehört, nicht zur Strecke \( AB \) gehören.
Anmerkung:
Oder: Liegen die Punkte \( C \) und \( D \) innerhalb der Strecke \( AB, \) der Punkt \( D \) außerhalb der Strecke \( AC, \) so liegt der Punkt \( D \) innerhalb der Strecke \( BC.
\)
Grundsatz 6
Sind \( A \) und \( B \) beliebige Punkte, so kann man einen Punkt \( C \) so wählen, dass \( B \) innerhalb der Strecke \( AC \) liegt.
\[ (A,B\in{\mathcal P})\longrightarrow(\mbox{es gibt ein}\ C\in{\mathcal P}\ \mbox{mit}\ B\in AC). \]
Grundsatz 7
Liegt der Punkt \( B \) innerhalb der Strecken \( AC \) und \( AD, \) so liegt entweder der Punkt \( C \) innerhalb der Strecke \( AD \) oder der Punkt \( D \) innerhalb der Strecke \( AC.
\)
\[ ( B\in AC\ \mbox{und}\ B\in AD ) \longrightarrow ( C\in AD\ \mbox{oder}\ D\in AC ). \]
Grundsatz 8
Liegen der Punkt \( B \) innerhalb der Strecke \( AC \) und der Punkt \( A \) innerhalb der Strecke \( BD, \) und sind \( C \) und \( D \) durch eine gerade Strecke verbunden, so liegt der Punkt
\( A \) auch innerhalb der Strecke \( CD. \) Ebenso liegt dann auch der Punkt \( B \) innerhalb der Strecke \( CD. \)
\[ ( B\in AC\ \mbox{und}\ A\in BD ) \longrightarrow ( A\in CD\ \mbox{und}\ B\in CD ). \]
Definitionen
Definition 1
Die Strecke \( CD \) heißt ein Teil der Strecke \( AB, \) wenn die letztere alle Punkte der ersteren enthält, aber nicht bloß diese.
Definition 2
Drei Punkte, von denen einer innerhalb der durch die beiden andern begrenzten geraden Strecke liegt, mögen eine gerade Reihe heißen: \( ABC, \) \( ABD \) usw.
Definition 3
Im Fall \( ABC \) sagt man, der Punkt \( C \) liegt in der geraden Linie der Punkte \( A \) und \( B. \)
Anmerkung:
Andere Sprechweisen hierfür sind:
- \( C \) liegt in der geraden Linie \( AB \)
- \( C \) liegt in der Geraden \( AB \)
- \( C \) ist ein Punkt der Geraden \( AB \)
- die Gerade \( AB \) geht durch \( C \) usw.
Anmerkung:
Liegt der Punkt \( C \) innerhalb der Strecke \( AB, \) und sind \( A, \) \( B, \) \( C \) Punkte einer Geraden, so sagt man: Der Punkt \( C \) liegt in dieser Geraden zwischen \(
A \) und \( B. \)