LEHRSÄTZE VON DER GERADEN LINIE

Lehrsatz 1

Liegt der Punkt \( C \) innerhalb der Strecke \( AB, \) der Punkt \( D \) innerhalb der Strecke \( BC, \) so liegt der Punkt \( C \) innerhalb der Strecke \( AD. \)

Lehrsatz 2

Sind \( C \) und \( D  \) Punkte der Strecke  \( AB \) und mindestens einer von ihnen innerhalb derselben gelegen, so ist die Strecke \( CD \) ein Teil der Strecke \( AB. \)

Lehrsatz 3

Bilden die Punkte \( ABC  \) und \( ABD \) gerade Reihen, so gilt dies auch von den Punkten \( ACD \) und \( BCD. \)

Lehrsatz 4

Durch zwei beliebige Punkte kann man stets eine gerade Linie ziehen.

Lehrsatz 5

Jede Gerade ist durch zwei beliebige von ihren Punkten bestimmt.

Anmerkung:

Alle Geraden, welche zwei verschiedene Punkte gemeinsam haben, fallen nach diesem Lehrsatz miteinander zusammen.

Lehrsatz 6

Liegen drei Punkte in einer geraden Linie, so liegt einer von ihnen zwischen den beiden andern.

Lehrsatz 7

Liegen die Punkte \( A, \) \( B, \) \( C \) in einer geraden Linie,  \( C \) zwischen \( A \) und \( B, \) so liegt weder \( A \) zwischen \( B \) und \( C, \) noch \( B \) zwischen \( A \) und \( C. \)

Lehrsatz 8

Sind in einer Geraden zwei Punkte \( A \) und \( B \) gegeben, so kann man in ihr stets \( C \) so wählen, dass \( C \) zwischen \( A \) und \( B \) liegt.

Lehrsatz 9

Sind in einer Geraden zwei Punkte \( A \) und \( B \) gegeben, so kann man in ihr stets \( C \) so wählen, dass \( A \) zwischen \( B \) und \( C \) liegt.

Lehrsatz 10

Liegen die Punkte \( A, \) \( B, \) \( C, \) \( D \) in einer Geraden, \( C \) zwischen \( A \) und \( B, \) \( D \) zwischen \( A \) und \( C, \) so liegt \( D \) auch zwischen \( A \) und \( B. \)

Lehrsatz 11

Liegen die Punkte \( A, \) \( B, \) \( C, \) \( D \) in einer Geraden, \( C \) und \( D \) zwischen \( A \) und \( B, \) aber \( D \) nicht zwischen \( A \) und \( C, \) so liegt \( D \) zwischen \( B \) und \( C. \)

Lehrsatz 12

Liegen die Punkte \( A, \) \( B, \) \( C, \) \( D \) in einer Geraden, \( D \) zwischen \( A \) und \( B, \) so liegt \( D \) entweder zwischen \( A \) und \( C \) oder zwischen \( B \) und \( C. \)

Lehrsatz 13

Liegen die Punkte \( A, \) \( B, \) \( C, \) \( D \) in einer Geraden, \( C \) zwischen \( A \) und \( B, \) \( D \) zwischen \( B \) und \( C, \) so liegt \( C \) zwischen \( A \) und \( D. \)

Lehrsatz 14

Liegen \( A, \) \( B, \) \( C, \) \( D \) in gerade Linie, \( B \) zwischen \( A \) und \( C, \) zugleich \( B \) zwischen \( A \) und \( D, \) so liegt \( A \) nicht zwischen \( C \) und \( D. \)

Lehrsatz 15

Liegen \( A, \) \( B, \) \( C, \) \( D \) in gerade Linie, \( B \) zwischen \( A \) und \( C, \) zugleich \( B \) zwischen \( A \) und \( D, \) so liegt \( B \) nicht zwischen \( C \) und \( D. \)

Lehrsatz 16

Liegen \( A, \) \( B, \) \( C, \) \( D \) in gerader Linie, \( A \) zwischen \( B \) und \( C, \) \( B \) zwischen \( A \) und \( D, \) so liegt \( A \) zwischen \( C \) und \( D. \)

Lehrsatz 17

Hat man in einer Geraden eine beliebige (endliche) Menge von Punkte, so kann man zwei Punkte herausheben, zwischen denen alle übrigen liegen.

Lehrsatz 18

Hat man in einer Geraden eine beliebige Menge von Punkten, so kann man in ihr zwei Punkte so angeben, dass zwischen ihnen alle gegebenen liegen.

Lehrsatz 19

Sind \( A, \) \( B, \) \( C, \) \( E \) Punkte in einer Geraden, so werden entweder \( BC \) durch \( AE \) getrennt, oder \( CA \) durch \( BE, \) oder \( AB \) durch \( CE, \) und zwar schließt jede dieser Lagen die beiden andern aus.

Lehrsatz 20

Lehrsatz 21

Lehrsatz 22

Lehrsatz 23

Werden in einer Geraden die Punkte \( AB \) durch \( CE \) getrennt, so werden auch \( CE \) durch \( AB \) getrennt.