axiom xiv und theorem
Einleitung
pdf ... kommt noch
Axiom XIV
Axiom XIV
\( \big[a,b,c\in{\mathcal P}\ \mbox{mit}\ (a,b,c)\not\in\mbox{Col}\ \mbox{und}\ d\in bc\ \mbox{und}\ f\in ac\big]\longrightarrow(\mbox{es gibt}\ e\in ad\ \mbox{mit}\ e\in bf) \)
Theoreme zu Axiom XIV
Es seien \( a,b,d,f\in{\mathcal P} \) mit \( (a,b,d)\not\in\mbox{Col} \) und \( (b'd\cap a'f)\not=\emptyset. \) Dann gilt
\[ (ad\cap bf)\not=\emptyset\,. \]
Es seien \( a,b,d,f\in{\mathcal P} \) mit \( (a,b,d)\not\in\mbox{Col} \) und \( f\in ab'd. \) Dann gilt
\[ f\in b'ad. \]
Es seien \( a,b,c\in{\mathcal P} \) mit \( (a,b,c)\not\in\mbox{Col}. \) Dann gilt
\[ ab'c\subseteq b'ac. \]
Beweis
Nach Theorem 204 gilt \( x\in b'ac \) für beliebiges \( x\in ab'c, \) womit die Behauptung bewiesen ist. \( \quad\Box \)
Es seien \( a,b,c,p,q\in{\mathcal P} \) mit \( (a,b,c)\not\in\mbox{Col}, \) \( p\in a'b \) und \( q\in a'c. \) Dann gilt
\[ pq\subseteq a'bc. \]
Es seien \( h\in\mbox{Conv} \) und \( a\in{\mathcal P} \) mit \( a\not\in h. \) Dann gilt
\[ a'h\in\mbox{Conv}\,. \]
Theorem 209
Es seien \( h\in\mbox{Conv} \) und \( a\in{\mathcal P} \) mit \( a\not\in h. \) Dann gilt
\[ (ah\cup h\cup a'h)\in\mbox{Conv}. \]
Theorem 210
Es seien \( h\in\mbox{Conv} \) und \( a\in{\mathcal P} \) mit \( a\not\in h. \) Dann gilt
\[ (h\cup a'h)\in\mbox{Conv}. \]
Theorem 211
Es seien \( a,b,c\in{\mathcal P} \) mit \( (a,b,c)\not\in\mbox{Col} \) sowie \( p\in b'a \) und \( q\in c'a. \) Dann gilt
\[ pq\subseteq b'c'a. \]
Theorem 212
Es seien \( h\in\mbox{Conv} \) und \( a\in{\mathcal P} \) mit \( a\not\in h. \) Dann gilt
\[ h'a\in\mbox{Conv}. \]
Theorem 213
Es seien \( a,b,c\in{\mathcal P} \) mit \( (a,b,c)\not\in\mbox{Col} \) und \( d\in bc. \) Dann gilt
\[ adc\subseteq b'ad. \]
Theorem 214
Es seien \( a,b,c\in{\mathcal P} \) mit \( (a,b,c)\not\in\mbox{Col} \) und \( d\in bc. \) Dann gilt
\[ ac\subseteq b'ad. \]
Theorem 215
Es seien \( a,b,c\in{\mathcal P} \) mit \( (a,b,c)\not\in\mbox{Col} \) und \( d\in bc. \) Dann gilt
\[ b'ac\subseteq b'ad. \]
Theorem 216
Es seien \( a,b,c\in{\mathcal P} \) mit \( (a,b,c)\not\in\mbox{Col} \) und \( d\in bc. \) Dann gilt
\[ (adc\cup ac\cup b'ac)\subseteq b'ad. \]
Theorem 217
Es seien \( a,b,c\in{\mathcal P} \) mit \( (a,b,c)\not\in\mbox{Col} \) und \( d\in bc. \) Dann gilt
\[ b'ad=(adc\cup ac\cup b'ac). \]
Theorem 218
Es seien \( a,b,c\in{\mathcal P} \) mit \( (a,b,c)\not\in\mbox{Col} \) und \( d\in bc. \) Dann gilt
\[ d'ab=(c'ab\cup c'a\cup c'd'a). \]
Theorem 219
Es seien \( a,b,c\in{\mathcal P} \) mit \( (a,b,c)\not\in\mbox{Col} \) und \( d\in bc. \) Dann gilt
\[ (abc)''=(abd)''\,. \]
Theorem 220
Es seien \( a,b,c\in{\mathcal P} \) mit \( (a,b,c)\not\in\mbox{Col} \) und \( d\in(bc)'' \) mit \( d\not=b. \) Dann gilt
\[ (abc)''=(abd)''\,. \]
Theorem 221
Es seien \( a,b,c\in{\mathcal P} \) mit \( (a,b,c)\not\in\mbox{Col} \) und \( d\in abc. \) Dann gilt
\[ (abc)''=(abd)''\,. \]
Theorem 222
Es seien \( a,b,c\in{\mathcal P} \) mit \( (a,b,c)\not\in\mbox{Col} \) und \( d\in a'bc. \) Dann gilt
\[ (abc)''=(abd)''\,. \]
Theorem 223
Es seien \( a,b,c\in{\mathcal P} \) mit \( (a,b,c)\not\in\mbox{Col} \) und \( d\in(abc)'' \) mit \( d\not\in(ab)''. \) Dann gilt
\[ (abc)''=(abd)''\,. \]
Theorem 224
Es seien \( a,b,c\in{\mathcal P} \) mit \( (a,b,c)\not\in\mbox{Col} \) und \( d,e\in(abc)'' \) mit \( (a,d,e)\not\in\mbox{Col}. \) Dann gilt
\[ (abc)''=(ade)''\,. \]
Theorem 225
Es seien \( a,b,c\in{\mathcal P} \) mit \( (a,b,c)\not\in\mbox{Col} \) und \( d,e,f\in(abc)'' \) mit \( (d,e,f)\not\in\mbox{Col}. \) Dann gilt
\[ (abc)''=(def)''\,. \]
Theorem 226
Es seien \( p\in{\mathcal E} \) und \( a,b,c\in p \) mit \( (a,b,c)\not\in\mbox{Col}. \) Dann gilt
\[ p=(abc)''\,. \]
Theorem 227
Es seien \( p,q\in{\mathcal E} \) und \( a,b,c\in(p\cap q) \) mit \( (a,b,c)\not\in\mbox{Col}. \) Dann gilt
\[ p=q. \]
Theorem 228
Es gilt
\[ {\mathcal E}\subseteq\mbox{Conv}. \]
Theorem 229
Es seien \( a,b,c,d\in{\mathcal P} \) mit \( (a,b,c)\not\in\mbox{Col}. \) Dann gilt
\[ (a,b,c,d)\in\mbox{Copl}\longleftrightarrow\big[d\in(abc)''\big]. \]
Theorem 230
Es seien \( a,b,c,d\in{\mathcal P}. \) Dann gilt
\[ (a,b,c,d)\in\mbox{Copl}\longleftrightarrow\big[(a,b,c)\in\mbox{Col}\ \mbox{und}\ (a,b,d)\in\mbox{Col}\big]. \]
Theorem 231
Es seien \( p\in{\mathcal E}, \) \( r\in {\mathcal G} \) und \( a,b\in p\cap r \) mit \( a\not=b. \) Dann gilt
\[ r\subseteq p. \]
Theorem 232
Es seien \( r\in{\mathcal G}, \) \( a\in{\mathcal P} \) mit \( a\not\in r, \) \( b\in r, \) \( c\in b'a \) und \( d\in c'r. \) Dann gilt
\[ d\in a'r. \]
Theorem 233
Es seien \( r\in{\mathcal G}, \) \( c\in{\mathcal P} \) mit \( c\not\in r \) und \( a\in cr. \) Dann gilt
\[ c'r\subseteq a'r. \]
Theorem 234
Es seien \( r\in{\mathcal G}, \) \( c\in{\mathcal P} \) mit \( c\not\in r \) und \( a\in cr. \) Dann gilt
\[ a'r=c'r. \]
Theorem 235
Es seien \( r\in{\mathcal G}, \) \( a\in{\mathcal P} \) mit \( a\not\in r \) und \( b\in r'ra. \) Dann gilt
\[ a'r=b'r. \]
Theorem 236
Es seien \( r\in{\mathcal G}, \) \( a\in{\mathcal P} \) mit \( a\not\in r, \) \( c\in a'r \) und \( b\in c'r. \) Dann gilt
\[ b\in r'ra. \]
Theorem 237
Es seien \( r\in{\mathcal G}, \) \( a\in{\mathcal P} \) mit \( a\not\in r \) und \( b\in r'ra. \) Dann gilt
\[ r'ra=r'rb. \]
Theorem 238
Es seien \( r\in{\mathcal G} \) und \( a\in{\mathcal P} \) mit \( a\not\in r. \) Dann gilt
\[ (ar)''\in{\mathcal E}. \]
Theorem 239
Es seien \( r\in{\mathcal G} \) und \( a\in{\mathcal P} \) mit \( a\not\in r. \) Dann gilt
\[ (ar)''=(r\cup ra'\cup r'ra). \]
Theorem 240
Es seien \( p\in{\mathcal E}, \) \( a\in{\mathcal P} \) mit \( a\not\in p\) und \( b\in p'pa. \) Dann gilt
\[ a'p=b'p. \]
Theorem 241
Es seien \( p\in{\mathcal E}, \) \( a\in{\mathcal P} \) mit \( a\not\in p, \) \( c\in a'p \) und \( b\in c'p. \) Dann gilt
\[ b\in p'pa. \]
Theorem 242
Es seien \( p\in{\mathcal E}, \) \( a\in{\mathcal P} \) mit \( a\not\in p \) und \( b\in p'pa. \) Dann gilt
\[ p'pa=p'pb. \]