axiome i, ii, iii und iv und theoreme
Einleitung
Die Axiome 1 bis 5 charakterisieren einmal das Gleichheitszeichen, dann die Darstellung von Strecken durch ihre Anfangs- bzw. Endpunkte.
Alle für den weiteren Ausbau der Geometrie benötigten Eigenschaften der in vorangegangenen Defini-tionen eingeführten geometrischen Objekte werden in den sich nun anschließenden, in Gruppen zusammengefassten Axiomen I bis XVI eingeführt.
Die erste Axiomgruppe umfasst die Axiome I, II, III und IV. Diese Axiome besagen:
- die Menge der Punkte ist nicht leer (Axiom I),
- es existieren wenigstens zwei verschiedene Punkte (Axiom II),
- die Segmente, deren Anfangs- und Endpunkte übereinstimmen, ist leer (Axiom III),
- zwei verschiedene Punkte erzeugen ein nichtleeres Segment (Axiom IV).
Die Axiome I, II, III und IV gehören zusammen mit den Axiomen V bis XI zu den Axiomen, welche die Geometrie der geraden Linien charakterisieren.
Axiome I, II, III und IV
\( (a\in{\mathcal P}) \longrightarrow (\mbox{es gibt ein}\ x\in{\mathcal P}\ \mbox{mit}\ x\not=a) \)
\( (a,b\in{\mathcal P}\ \mbox{mit}\ a\not=b) \longrightarrow (ab\not=\emptyset) \)
Theoreme zu den Axiomen I, II, III und IV
Es seien \( a,b\in{\mathcal P} \) mit \( a=b. \) Dann gilt
\[ ab=\emptyset\,. \]
| Beweis | ||
| Nach Voraussetzung ist \( a=b. \) | ||
| 1. | \( \vdash\ ab=aa \) | (Vor, Ax 5) |
| 2. | \( \vdash\ aa=\emptyset \) | (Ax III) |
| 3. | \( \vdash\ ab=\emptyset \) | (1, 2) |
| Damit ist die Behauptung bewiesen. \( \quad\Box \) | ||
Es seien \( a,b\in{\mathcal P} \) mit \( ab\not=\emptyset. \) Dann gilt
\[ a\not=b. \]
Beweis: Wäre \( a=b, \) so ist \( ab=\emptyset \) nach Theorem 36. Widerspruch. \( \quad\Box \)
Es seien \( a,b,c\in{\mathcal P} \) mit \( c\in ab. \) Dann gilt
\[ a\not=b. \]
| Beweis | ||
| Nach Voraussetzung ist \( c\in ab. \) | ||
| 1. | \( \vdash\ ab\not=\emptyset \) | (Vor) |
| 2. | \( \vdash\ a\not=b \) | (1, Th 37) |
| Damit ist die Behauptung bewiesen. \( \quad\Box \) | ||
Es seien \( a,b,c\in{\mathcal P} \) mit \( b\in a'c. \) Dann gilt
\[ a\not=b. \]
Existiert wenigstens ein Punkt \( b \) mit \( b\in a'c, \) d.h. ist die geometrische Figur \( a'c \) nicht leer, so ist der Anfangspunkt \( a \) des Segmentes \( ab \) verschieden vom Endpunkt \( b. \)
| Beweis | ||
| Nach Voraussetzung ist \( b\in a'c. \) | ||
| 1. | \( \vdash\ c\in ab \) | (Vor, Th 2) |
| 2. | \( \vdash\ ab\not=\emptyset \) | (1) |
| 3. | \( \vdash\ a\not=b \) | (2, Th 37) |
| Damit ist die Behauptung bewiesen. \( \quad\Box \) | ||
Es seien \( a\in{\mathcal P} \) und \( k\in{\mathcal F}. \) Dann gilt
\[ a\not\in a'k. \]
Beweis: Wäre \( a\in a'k, \) so existiert nach Definition 4 ein \( y\in k \) mit \( a\in a'y. \) Theorem 39 liefert dann \( a\not=a. \) Widerspruch. \( \quad\Box \)
Es seien \( a,b\in{\mathcal P} \) mit \( ab=\emptyset. \) Dann gilt
\[ a=b. \]
Beweis: Es handelt sich um die Kontraposition der Aussage aus Axiom IV. \( \quad\Box \)
Es seien \( a,b\in{\mathcal P}. \) Dann gilt
\[ (a=b)\longleftrightarrow(ab=\emptyset). \]
Beweis: Dieses Theorem fasst die Aussagen aus den Theorem 36 und Theorem 41 zusammen. \( \quad\Box \)
Es seien \( a,b\in{\mathcal P} \) mit \( a\not=b. \) Dann gilt
\[ b\in a'ab. \]
| Beweis | ||
| Nach Voraussetzung ist \( a\not=b. \) | ||
| 1. | \( \vdash\ ab\not=\emptyset \) | (Vor, Ax IV) |
| 2. | \( \vdash\ \exists\,y\in ab \) | (1) |
| 3. | \( \vdash\ \exists\,y\in ab\,(b\in a'y) \) | (2, Th 2) |
| 4. | \( \vdash\ b\in\{x\in{\mathcal P}\,:\,\exists\,y\in ab\,(x\in a'y)\} \) | (3) |
| 5. | \( \vdash\ b\in a'(ab) \) | (4, Def 4) |
| Damit ist die Behauptung bewiesen. \( \quad\Box \) | ||