Einleitung

Die Axiome 1 bis 5 charakterisieren einmal das Gleichheitszeichen, dann die Darstellung von Strecken durch ihre Anfangs- bzw. Endpunkte.

Alle für den weiteren Ausbau der Geometrie benötigten Eigenschaften der in vorangegangenen Defini-tionen eingeführten geometrischen Objekte werden in den sich nun anschließenden, in Gruppen zusammengefassten Axiomen I bis XVI eingeführt.

Die erste Axiomgruppe umfasst die Axiome I, II, III und IV. Diese Axiome besagen:

• die Menge der Punkte ist nicht leer (Axiom I),
• es existieren wenigstens zwei verschiedene Punkte (Axiom II),
• die Segmente, deren Anfangs- und Endpunkte übereinstimmen, ist leer (Axiom III),
• zwei verschiedene Punkte erzeugen ein nichtleeres Segment (Axiom IV).

Die Axiome I, II, III und IV gehören zusammen mit den Axiomen V bis XI zu den Axiomen, welche die Geometrie der geraden Linien charakterisieren.

Axiome I, II, III und IV

Axiom I (Peano §4P1)

${\mathcal P}\not=\emptyset$

Axiom II (Peano §4P2)

$(a\in{\mathcal P}) \longrightarrow (\mbox{es gibt ein}\ x\in{\mathcal P}\ \mbox{mit}\ x\not=a)$

Axiom III (Peano §4P3)

$(a\in{\mathcal P}) \longrightarrow (aa=\emptyset)$

Axiom IV (Peano §4P9)

$(a,b\in{\mathcal P}\ \mbox{mit}\ a\not=b) \longrightarrow (ab\not=\emptyset)$

Theoreme zu den Axiomen I, II, III und IV

Theorem 36 (Peano §4P4)

Es seien $a,b\in{\mathcal P}$ mit $a=b.$ Dann gilt

$$ab=\emptyset\,.$$

Theorem 37 (Peano §4P5)

Es seien $a,b\in{\mathcal P}$ mit $ab\not=\emptyset.$ Dann gilt

$$a\not=b.$$

Beweis: Wäre $a=b,$ so ist $ab=\emptyset$ nach Theorem 36. Widerspruch. $\quad\Box$

Theorem 38 (Peano §4P6)

Es seien $a,b,c\in{\mathcal P}$ mit $c\in ab.$ Dann gilt

$$a\not=b.$$

Theorem 39 (Peano §4P7)

Es seien $a,b,c\in{\mathcal P}$ mit $b\in a'c.$ Dann gilt

$$a\not=b.$$

Existiert wenigstens ein Punkt $b$ mit $b\in a'c,$ d.h. ist die geometrische Figur $a'c$ nicht leer, so ist der Anfangspunkt $a$ des Segmentes $ab$ verschieden vom Endpunkt $b.$

Theorem 40 (Peano §4P8)

Es seien $a\in{\mathcal P}$ und $k\in{\mathcal F}.$ Dann gilt

$$a\not\in a'k.$$

Beweis: Wäre $a\in a'k,$ so existiert nach Definition 4 ein $y\in k$ mit $a\in a'y.$ Theorem 39 liefert dann $a\not=a.$ Widerspruch. $\quad\Box$

Theorem 41 (Peano §4P10)

Es seien $a,b\in{\mathcal P}$ mit $ab=\emptyset.$ Dann gilt

$$a=b.$$

Beweis: Es handelt sich um die Kontraposition der Aussage aus Axiom IV. $\quad\Box$

Theorem 42 (Peano §4P11)

Es seien $a,b\in{\mathcal P}.$ Dann gilt

$$(a=b)\longleftrightarrow(ab=\emptyset).$$

Beweis: Dieses Theorem fasst die Aussagen aus den Theorem 36 und Theorem 41 zusammen. $\quad\Box$

Theorem 43 (Peano §4P12)

Es seien $a,b\in{\mathcal P}$ mit $a\not=b.$ Dann gilt

$$b\in a'ab.$$