axiome v, vi und vii und theoreme
Einleitung
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Axiom V
Axiom V
\( (a,b\in{\mathcal P})\longrightarrow(ab=ba) \)
Theoreme zu Axiom V
| Beweis: | ||
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Es sei \( z\in a'b. \) Wir zeigen \( z\in ba'. \) |
||
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1. |
Es ist \( z\in\{x\in{\mathcal P}\,:\,b\in ax\} \) |
(Def 1) |
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2. |
Es ist \( z\in\{x\in{\mathcal P}\,:\,b\in xa\} \) |
(1, Ax V) |
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3. |
Es ist \( b\in za \) |
(2) |
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4. |
Es ist \( z\in ba' \) |
(4, Th 3) |
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Es sei \( z\in ba'. \) Wir zeigen \( z\in a'b. \) |
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5. |
Es ist \( b\in za \) |
(Th 3) |
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6. |
Es ist \( b\in az \) |
(5, Ax V) |
|
7. |
Es ist \( z\in a'b \) |
(6, Th 2) |
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Damit ist der Beweis abgeschlossen. \( \quad\Box \) |
||
Es seien \( a,b\in{\mathcal P} \) und \( k\in{\mathcal F}. \) Dann gilt
\[ (b\in a'k)\longleftrightarrow(a\in b'k). \]
| Beweis: | ||
|
Es sei \( b\in a'k. \) Wir zeigen \( a\in b'k. \) |
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1. |
Es ist \( b\in\{x\in{\mathcal P}\,:\,\mbox{es gibt ein}\ y\in k\ \mbox{mit}\ x\in a'y\} \) |
(Def 4) |
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2. |
Es gibt ein \( y\in k \) mit \( b\in a'y \) |
(1) |
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3. |
Es gibt ein \( y\in k \) mit \( b\in ya' \) |
(2, Th 44) |
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4. |
Es gibt ein \( y\in k \) mit \( a\in b'y \) |
(3, Th 4) |
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5. |
Es ist \( a\in\{x\in{\mathcal P}\,:\,\mbox{es gibt ein}\ y\in k\ \mbox{mit}\ x\in b'y\} \) |
(4) |
|
6. |
Es ist \( a\in b'k \) |
(5, Def 4) |
|
Es sei \( a\in b'k. \) Wir zeigen \( b\in a'k. \) |
||
|
7. |
Es ist \( a\in\{x\in{\mathcal P}\,:\,\mbox{es gibt ein}\ y\in k\ \mbox{mit}\ x\in b'y\} \) |
(Def 4) |
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8. |
Es gibt ein \( y\in k \) mit \( a\in b'y \) |
(7) |
|
9. |
Es gibt ein \( y\in k \) mit \( a\in yb' \) |
(8, Th 44) |
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10. |
Es gibt ein \( y\in k \) mit \( b\in a'y \) |
(9, Th 4) |
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11. |
Es ist \( b\in\{x\in{\mathcal P}\,:\,\mbox{es gibt ein}\ y\in k\ \mbox{mit}\ x\in a'y\} \) |
(10) |
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12. |
Es ist \( b\in a'k \) |
(11, Def 4) |
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Damit ist der Beweis abgeschlossen. \( \quad\Box \) |
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Es seien \( a,b,c,d\in{\mathcal P}. \) Dann gelten
\[ (ab\cap cd\not=\emptyset)\longleftrightarrow(a\in b'cd)\longleftrightarrow(b\in a'cd)\longleftrightarrow(c\in d'ab)\longleftrightarrow(d\in c'ab). \]
Es seien \( a,b,c,d\in{\mathcal P}. \) Dann gelten
\[ (a'b\cap cd\not=\emptyset)\longleftrightarrow[a\in b(cd)']\longleftrightarrow(b\in acd)\longleftrightarrow(c\in d'a'b)\longleftrightarrow(d\in c'a'b). \]
Es seien \( a,b,c,d\in{\mathcal P}. \) Dann gelten
\[ (a'b\cap c'd\not=\emptyset)\longleftrightarrow[a\in b(c'd)']\longleftrightarrow(b\in ac'd)\longleftrightarrow(c\in d(a'b)'\longleftrightarrow(d\in ca'b). \]
Axiom VI
Axiom VI
\( (a,b\in{\mathcal P})\longrightarrow(a\not\in ab) \)
Theoreme zu Axiom VI
Vermittels Axiom V vereinbaren wir \( a\not\in ab. \) Zusammen mit diesem Theorem beinhaltet nun ein Segment \( ab \) weder seinen Anfangspunkt \( a \) noch seinen Endpunkt \( b.
\)
| Beweis: | ||
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1. |
Es ist \( ab=ba \) |
(Ax V) |
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2. |
Es ist \( b\not\in ba \) |
(Ax VI) |
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3. |
Es ist \( b\not\in ab \) |
(1, 2) |
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Damit ist der Beweis abgeschlossen. \( \quad\Box \) |
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Es seien \( a,b,c\in{\mathcal P} \) mit \( c\in ab. \) Dann gelten
\[ c\not=a\quad\mbox{und}\quad c\not=b. \]
Es seien \( a,b,c\in{\mathcal P} \) mit \( c\in a'b. \) Dann gelten
\[ a\not=b,\quad a\not=c,\quad b\not=c. \]
Es seien \( a\in{\mathcal P} \) und \( k\in{\mathcal F}. \) Dann gilt
\[ a\not\in ak. \]
Axiom VII
Axiom VII
\( (a,b\in{\mathcal P}\ \mbox{mit}\ a\not=b)\longrightarrow(a'b\not=\emptyset) \)
Theorem zu Axiom VII
Es seien \( a,b\in{\mathcal P}. \) Dann gilt
\[ (a'b=\emptyset)\longleftrightarrow(a=b). \]