Einleitung
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Axiome XII und XIII
Axiom XII
(r∈G)⟶(es gibt ein x∈P mit x∉r)
Axiom XIII
[a,b,c∈P mit (a,b,c)∉Col und d∈bc und e∈ad]⟶(es gibt ein f∈ac mit e∈bf)
Theoreme zu den Axiomen XII und
XIII
Theorem 172
Es seien a,b,c,e∈P mit (a,b,c)∉Col und bc∩a′e≠∅. Dann gilt
ac∩b′e≠∅.
Theorem 173
Es seien a,b,c,e∈P mit (a,b,c)∉Col. Dann gilt
(bc∩a′e∉∅)⟷(ac∩b′e≠∅).
Theorem 174
Es seien a,b,c∈P mit (a,b,c)∉Col. Dann gilt
(e∈abc)⟷(e∈bac).
Theorem 175
Es seien a,b,c∈P mit (a,b,c)∉Col. Dann gilt
abc=bac.
Theorem 176
Es seien a,b,c∈P mit (a,b,c)∉Col. Dann gilt
abc=(ab)c.
Theorem 177
Es seien a,b,e∈P mit (a,b,e)∉Col. Dann gelten
(c∈b′a′e)⟷(c∈a′b′e)⟷[c∈(ab)′e].
Theorem 178
Es seien a,b,c∈P mit (a,b,c)∉Col. Dann gelten
b′a′c=a′b′c=(ab)′c.
Theorem 179
Es seien a,b,c∈P mit (a,b,c)∉Col sowie p∈ab und q∈ac. Dann gilt
pq⊆abc.
Theorem 180
Es seien a,b,c∈P mit a∉bc sowie p∈ab und q∈ac. Dann gilt
pq⊆abc.
Theorem 181
Es seien k∈Conv, a∈P mit a∉k, ferner b,c∈k sowie p∈ab und q∈ac. Dann gilt
pq⊆ak.
Theorem 182
Es seien k∈Conv und a∈P mit a∉k. Dann gilt
ak∈Conv.
Theorem 183
Es seien a,b,c∈P mit a∉bc. Dann gilt
abc∈Conv.
Theorem 184
Es seien a,b,c,d∈P mit b∉cd und a∉bcd. Dann gilt
abcd∈Conv.
Theorem 185
Es seien k∈Conv und a∈P mit a∉k. Dann gilt
(ak∪k)∈Conv.
Theorem 186
Es seien k∈Conv und a∈P. Dann gilt
(a∪ak)∈Conv.
Theorem 187
Es seien k∈Conv und a∈P. Dann gilt
(a∪ak∪k)∈Conv.
Theorem 188
Es seien a,b,c∈P mit (a,b,c)∉Col sowie d∈bc, e∈ad und x∈b′e. Dann gilt
x∈(adc∪ac∪b′ac).
Theorem 189
Es seien a,b,c∈P mit (a,b,c)∉Col und d∈bc. Dann gilt
b′ad⊆(adc∪ac∪b′ac).
Theorem 190
Es seien a,b,c∈P mit (a,b,c)∉Col. Dann gilt
bc′⊆(abc)″
Theorem 191
Es seien a,b,c\in{\mathcal P} mit (a,b,c)\not\in\mbox{Col}. Dann gilt
(a\cup b\cup c\cup ab\cup\ldots\cup a'b\cup\ldots\cup abc\cup a'bc\cup\ldots\cup a'b'c\cup\ldots)\subseteq(abc)''\,.
Theorem 192
Es seien a,b,c\in{\mathcal P} mit (a,b,c)\not\in\mbox{Col}. Dann gilt
(bc)''\subseteq(abc)''\,.
Theorem 193
Es seien a,b,c\in{\mathcal P} mit (a,b,c)\not\in\mbox{Col} und r\in(bc)''. Dann gilt
a'r\subseteq(abc)''\,.
Theorem 194
Es seien p\in{\mathcal E} und r\in{\mathcal G}. Dann existiert ein x\in p mit x\not\in r.
Theorem 195
Es seien a,b,c\in{\mathcal P} mit (a,b,c)\not\in\mbox{Col} und p\in abc. Dann gilt
abc=(p\cup pa\cup pab\cup pb\cup pbc\cup pc\cup pca).
Theorem 196
Es seien a,b,c\in{\mathcal P} mit (a,b,c)\not\in\mbox{Col} sowie p,q\in abc mit p\not=q. Dann gilt
p'q\cap(a\cup ab\cup b\cup bc\cup c\cup ca)\not=\emptyset\,.
Theorem 197
Es seien r\in{\mathcal G} und a\in{\mathcal P} mit a\not\in r, ferner b\in r, c\in b'a und d\in a'r. Dann gilt
d\in c'r.
Theorem 198
Es seien r\in{\mathcal G} und a\in{\mathcal P} mit a\not\in r, ferner b\in r und c\in b'a. Dann gilt
a'r\subseteq c'r.
Theorem 199
Es seien r\in{\mathcal G} und c\in{\mathcal P} mit c\not\in r sowie a\in cr. Dann gilt
a'r\subseteq c'r.
Theorem 200
Es seien a,b,c\in{\mathcal P} mit (a,b,c)\not\in\mbox{Col} und p\in abc. Dann gilt
p'abc\subseteq(a\cup\ldots\cup ab\cup\ldots\cup a'b\cup\ldots\cup abc\cup a'bc\cup\ldots\cup a'b'c\cup\ldots).
Theorem 201
Es seien a,b,c\in{\mathcal P} mit (a,b,c)\not\in\mbox{Col}. Dann gilt
\begin{eqnarray*}
(abc)'' & = & (a\cup b\cup c\cup ab\cup ac\cup bc\cup a'b\cup ab'\cup b'c\cup cb'\cup c'a\cup ac'\cup\ldots \\
& & \quad\ldots\,\cup\,abc\cup a'bc\cup b'ca\cup c'ab\cup a'b'c\cup b'c'a\cup c'a'b).
\end{eqnarray*}
Theorem 202
Es seien a,b,c\in{\mathcal P} mit (a,b,c)\not\in\mbox{Col}. Dann gilt
\begin{eqnarray*}
\big[x\in(abc)''\big]
& \longleftrightarrow &
\big[
(a,b,x)\in\mbox{Col}
\ \mbox{und}
\ (a,c,x)\in\mbox{Col}
\ \mbox{und}
\ (b,c,x)\in\mbox{Col} \\
& &
\quad
\mbox{und}
\ x\in abc
\ \mbox{und}
\ a\in bcx
\ \mbox{und}
\ b\in acx
\ \mbox{und}
\ c\in abx \\
& &
\quad
\mbox{und}
\ (ax\cap bc)\not=\emptyset
\ \mbox{und}
\ (bx\cap ac)\not=\emptyset
\ \mbox{und}
\ (cx\cap ab)\not=\emptyset
\big].
\end{eqnarray*}