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axiome xii und xiii und theoreme


Einleitung

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Axiome XII und XIII

Axiom XII

(rG)(es gibt ein xP mit xr)

Axiom XIII

[a,b,cP mit (a,b,c)Col und dbc und ead](es gibt ein fac mit ebf)

Theoreme zu den Axiomen XII und XIII

Theorem 172

Es seien a,b,c,eP mit (a,b,c)Col und bcae. Dann gilt

acbe.

Theorem 173

Es seien a,b,c,eP mit (a,b,c)Col. Dann gilt

(bcae)(acbe).

Theorem 174

Es seien a,b,cP mit (a,b,c)Col. Dann gilt

(eabc)(ebac).

Theorem 175

Es seien a,b,cP mit (a,b,c)Col. Dann gilt

abc=bac.

Theorem 176

Es seien a,b,cP mit (a,b,c)Col. Dann gilt

abc=(ab)c.

Theorem 177

Es seien a,b,eP mit (a,b,e)Col. Dann gelten

(cbae)(cabe)[c(ab)e].

Theorem 178

Es seien a,b,cP mit (a,b,c)Col. Dann gelten

bac=abc=(ab)c.

Theorem 179

Es seien a,b,cP mit (a,b,c)Col sowie pab und qac. Dann gilt

pqabc.

Theorem 180

Es seien a,b,cP mit abc sowie pab und qac. Dann gilt

pqabc.

Theorem 181

Es seien kConv, aP mit ak, ferner b,ck sowie pab und qac. Dann gilt

pqak.

Theorem 182

Es seien kConv und aP mit ak. Dann gilt

akConv.

Theorem 183

Es seien a,b,cP mit abc. Dann gilt

abcConv.

Theorem 184

Es seien a,b,c,dP mit bcd und abcd. Dann gilt

abcdConv.

Theorem 185

Es seien kConv und aP mit ak. Dann gilt

(akk)Conv.

Theorem 186

Es seien kConv und aP. Dann gilt

(aak)Conv.

Theorem 187

Es seien kConv und aP. Dann gilt

(aakk)Conv.

Theorem 188

Es seien a,b,cP mit (a,b,c)Col sowie dbc, ead und xbe. Dann gilt

x(adcacbac).

Theorem 189

Es seien a,b,cP mit (a,b,c)Col und dbc. Dann gilt

bad(adcacbac).

Theorem 190

Es seien a,b,cP mit (a,b,c)Col. Dann gilt

bc(abc)

Theorem 191

Es seien a,b,c\in{\mathcal P} mit (a,b,c)\not\in\mbox{Col}. Dann gilt

(a\cup b\cup c\cup ab\cup\ldots\cup a'b\cup\ldots\cup abc\cup a'bc\cup\ldots\cup a'b'c\cup\ldots)\subseteq(abc)''\,.

Theorem 192

Es seien a,b,c\in{\mathcal P} mit (a,b,c)\not\in\mbox{Col}. Dann gilt

(bc)''\subseteq(abc)''\,.

Theorem 193

Es seien a,b,c\in{\mathcal P} mit (a,b,c)\not\in\mbox{Col} und r\in(bc)''. Dann gilt

a'r\subseteq(abc)''\,.

Theorem 194

Es seien p\in{\mathcal E} und r\in{\mathcal G}. Dann existiert ein x\in p mit x\not\in r.

Theorem 195

Es seien a,b,c\in{\mathcal P} mit   (a,b,c)\not\in\mbox{Col} und p\in abc. Dann gilt

abc=(p\cup pa\cup pab\cup pb\cup pbc\cup pc\cup pca).

Theorem 196

Es seien a,b,c\in{\mathcal P} mit (a,b,c)\not\in\mbox{Col} sowie p,q\in abc mit p\not=q. Dann gilt

p'q\cap(a\cup ab\cup b\cup bc\cup c\cup ca)\not=\emptyset\,.

Theorem 197

Es seien r\in{\mathcal G} und a\in{\mathcal P} mit a\not\in r, ferner b\in r, c\in b'a und d\in a'r. Dann gilt

d\in c'r.

Theorem 198

Es seien r\in{\mathcal G} und a\in{\mathcal P} mit a\not\in r, ferner b\in r und c\in b'a. Dann gilt

a'r\subseteq c'r.

Theorem 199

Es seien r\in{\mathcal G} und c\in{\mathcal P} mit c\not\in r sowie a\in cr. Dann gilt

a'r\subseteq c'r.

Theorem 200

Es seien a,b,c\in{\mathcal P} mit (a,b,c)\not\in\mbox{Col} und p\in abc. Dann gilt

p'abc\subseteq(a\cup\ldots\cup ab\cup\ldots\cup a'b\cup\ldots\cup abc\cup a'bc\cup\ldots\cup a'b'c\cup\ldots).

Theorem 201

Es seien a,b,c\in{\mathcal P} mit (a,b,c)\not\in\mbox{Col}. Dann gilt
\begin{eqnarray*}      (abc)'' & = & (a\cup b\cup c\cup ab\cup ac\cup bc\cup a'b\cup ab'\cup b'c\cup cb'\cup c'a\cup ac'\cup\ldots \\              &   & \quad\ldots\,\cup\,abc\cup a'bc\cup b'ca\cup c'ab\cup a'b'c\cup b'c'a\cup c'a'b).    \end{eqnarray*}

Theorem 202
Es seien a,b,c\in{\mathcal P} mit (a,b,c)\not\in\mbox{Col}. Dann gilt
\begin{eqnarray*}   \big[x\in(abc)''\big]   & \longleftrightarrow &        \big[          (a,b,x)\in\mbox{Col}          \ \mbox{und}          \ (a,c,x)\in\mbox{Col}          \ \mbox{und}          \ (b,c,x)\in\mbox{Col} \\   & &          \quad            \mbox{und}          \ x\in abc          \ \mbox{und}          \ a\in bcx          \ \mbox{und}          \ b\in acx          \ \mbox{und}          \ c\in abx \\   & &          \quad            \mbox{und}          \ (ax\cap bc)\not=\emptyset          \ \mbox{und}          \ (bx\cap ac)\not=\emptyset          \ \mbox{und}          \ (cx\cap ab)\not=\emptyset        \big]. \end{eqnarray*}