Bedeutung der Axiome
Die Peanosche Geometrie beginnt mit den folgenden zwei Axiomgruppen:
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Axiome der Gleichheit,
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Segmentaxiome.
Die Axiome der Gleichheit führen das Relationssymbol =
als Äquivalenzrelation ein, d.h. = ist
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reflexiv (Axiom 1),
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symmetrisch (Axiom 2) und
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transitiv (Axiom 3).
Die Segmentaxiome besagen
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zwei beliebig gewählte Punkte erzeugen ein Segment (Axiom 4),
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zwei Segmente mit gleichen Anfangs- und Endpunkten sind gleich (Axiom 5).
Axiom 2 (Peano §1P2)
\( (a=b)\longleftrightarrow(b=a) \)
Axiom 3 (Peano §1P3)
\( (a=b)\wedge(b=c)\longrightarrow(a=c) \)
Axiom 4 (Peano §1P4)
\( a,b\in{\mathcal P}\longrightarrow ab\in{\mathcal F} \)
Axiom 5 (Peano §1P5)
\( (a=b)\wedge(c=d)\longrightarrow(ac=bd) \)