theoreme zu den Definitionen 1 und 2

Bedeutung der Theoreme

Theorem 1 und Theorem 3 charakterisieren die Mengen \( a'b \) bzw. \( ab' \) aus den ersten beiden Definitionen der Peanoschen Axiomatik.

Theorem 2 ist eine äquivalente Darstellung des ersten Theorems, was insbesondere durch die von uns verwendete Mengenschreibweise augenfällig wird. Das Theorem 4 fasst schließlich die Aussagen des zweiten und des dritten Theorems zusammen.

Darstellung der Theoreme

Theorem 1 (Peano §3P1)

Es seien \( a,b\in{\mathcal P}. \) Dann gilt

\[ (c\in a'b)\longleftrightarrow(c\in{\mathcal P}\ \mbox{und}\ b\in ac). \]

Ein Punkt \( c \) der geometrischen Figur \( a'b \) ist seinerseits Endpunkt eines Segmentes \( ac, \) welches \( b \) als inneren Punkt enthält.

Eines Beweises der Teilbehauptung \( c\in{\mathcal P} \) bedarf es in Hinblick auf die von uns verwendete Mengenschreibweise nicht; Peano führt diese Behauptung im ersten Theorem zur Veranschaulichung seiner Formelsymbolik auf.

Theorem 2 (Peano §3P2)

Es seien \( a,b,c\in{\mathcal P}. \) Dann gilt

\[ (c\in a'b)\longleftrightarrow(b\in ac). \]

Dieses Theorem ist eine unmittelbare Umformulierung der Aussage aus Theorem 1 und kann zukünftig an dessen Stelle benutzt werden.

Theorem 3 (Peano §3P3)

Es seien \( a,b,c\in{\mathcal P}. \) Dann gilt

\[ (c\in ab')\longleftrightarrow(a\in cb). \]

Ein Punkt \( c \) der geometrischen Figur \( ab' \) ist seinerseits Anfangspunkt eines Segmentes \( cb, \) welches \( a \) als inneren Punkt enthält.

Theorem 4 (Peano §3P4)

Es seien \( a,b,c\in{\mathcal P}. \) Dann gilt

\[ (a\in bc)\longleftrightarrow(b\in ac')\quad\mbox{und}\quad(b\in ac')\longleftrightarrow(c\in b'a). \]

Die erste Äquivalenz ist eine direkte Umformulierung von Theorem 3. Die zweite Äquivalenz fasst die Theoreme 2 und 3 zusammen.