ANTIKE SYLLOGISMEN IM AXIOMENSYSTEM SHOENFIELDS

 

Das Axiomensystem Shoenfields umfasst ein Axiom, vier Schlussregeln und zwei Definitionen.

 

Axiom:

  1. \( \neg a\vee a \) Satz vom ausgeschlossenen Dritten

Schlussregeln:

  1. \( \displaystyle\genfrac{}{}{1pt}{}{a\vee(b\vee c)}{(a\vee b)\vee c} \) Assoziativregel (ASS)
  2. \( \displaystyle\genfrac{}{}{1pt}{}{a\vee a}{a} \) Expansionsregel (EXP)
  3. \( \displaystyle\genfrac{}{}{1pt}{}{a}{b\vee a} \) Expansionsregel (EXP)
  4. \( \displaystyle\genfrac{}{}{1pt}{}{a\vee b,\ \neg a\vee c}{b\vee c} \) Schnittregel (CUT)

Definitionen:

  1. \( a\to b \) bedeutet\( \quad\neg a\vee b \)
  2. \( a\wedge b \) bedeutet \( \quad\neg(\neg a\vee\neg b) \)

 

Wir leiten hieraus antike Syllogismen ab.

Modus Ponendo Ponens (Modus Ponens)

  1. \( \displaystyle\vdash\ \genfrac{}{}{1pt}{}{a,\ a\to b}{b} \)

 

 

Modus Tollendo Ponens (disjunktiver Syllogismus)

  1. \( \displaystyle\vdash\ \genfrac{}{}{1pt}{}{a\vee b,\neg a}{b} \)

 

 

Kettenschluss (hypothetischer Syllogismus)

  1. \( \displaystyle\vdash\ \genfrac{}{}{1pt}{}{a\to b,\ b\to c}{a\to c} \)

 

 

Modus Tollendo Tollens (Modus Tollens)

  1. \( \displaystyle\vdash\ \genfrac{}{}{1pt}{}{a\to b,\ \neg b}{\neg a} \)

Aristotelische Syllogismen

Alle Operationen werden über der minimalen Bezugsmenge verstanden.

Modi der ersten Figur

Modus Barbara (AAA1)

  1. \( \displaystyle\vdash\ \genfrac{}{}{1pt}{}{\neg m\vee p,\ \neg s\vee m}{\neg s\vee p} \)

 

 

Modus Celarent (EAE1)

  1. \( \displaystyle\vdash\ \genfrac{}{}{1pt}{}{\neg(m\wedge p),\ \neg s\vee m}{\neg(s\wedge p)} \)
Beweis
1. \( \vdash\ \neg(m\wedge p) \) (VOR)
2. \( \vdash\ \neg s\vee m \) (VOR)
3. \( \vdash \neg m\vee\neg p \) (MR1, 1)
4. \( \vdash\ m\vee\neg s \) (KMO, 2)
5. \( \vdash \neg s\vee\neg p \) (CUT, 3, 4)
6. \( \vdash\ \neg(s\wedge p) \) (UMR1, 5)
Damit ist die Behauptung bewiesen. \( \quad\Box \)

 

 

Modus Darii (AII1)

  1. \( \displaystyle\vdash\ \genfrac{}{}{1pt}{}{\neg m\vee p,\ s\wedge m}{s\wedge p} \)

 

 

Modus Ferio (EIO1)

  1. \( \displaystyle\vdash\ \genfrac{}{}{1pt}{}{\neg(m\wedge p),\ s\wedge m}{s\wedge\neg p} \)

 

 

Modus Barbari (AAI1)

  1. \( \displaystyle\vdash\ \genfrac{}{}{1pt}{}{\neg m\vee p,\ \neg s\vee m}{s\wedge p} \)

 

 

Modus Celaront (EAO1)

  1. \( \displaystyle\vdash\ \genfrac{}{}{1pt}{}{\neg(m\wedge p),\ \neg s\vee m}{s\wedge\neg p} \)

Modi der zweiten Figur

Modus Cesare (EAE2)

  1. \( \displaystyle\vdash\ \genfrac{}{}{1pt}{}{\neg(p\wedge m),\ \neg s\vee m}{\neg(s\wedge p)} \)

 

 

Modus Camestres (AEE2)

  1. \( \displaystyle\vdash\ \genfrac{}{}{1pt}{}{\neg p\vee m,\ \wedge\neg(s\wedge m)}{\neg(s\wedge p)} \)

 

 

Modus Festino (EIO2)

  1. \( \displaystyle\vdash\ \genfrac{}{}{1pt}{}{\neg(p\wedge m),\ s\wedge m}{s\wedge\neg p} \)

 

 

Modus Baroco (AOO2)

  1. \( \displaystyle\vdash\ \genfrac{}{}{1pt}{}{\neg p\vee m,\ s\wedge\neg m}{s\wedge\neg p} \)

 

 

Modus Camestrop (AEO2)

  1. \( \displaystyle\vdash\ \genfrac{}{}{1pt}{}{\neg p\vee m,\ \neg(s\wedge m)}{s\wedge\neg p} \)

 

 

Modus Cesarop (EAO2)

  1. \( \displaystyle\vdash\ \genfrac{}{}{1pt}{}{\neg(p\wedge m),\ \neg s\vee m}{s\wedge\neg p} \)

Modi der dritten Figur

Modus Datisis (AII3)

  1. \( \displaystyle\vdash\ \genfrac{}{}{1pt}{}{\neg m\vee p,\ m\wedge s}{s\wedge p} \)

 

 

Modus Ferison (EIO3)

  1. \( \displaystyle\vdash\ \genfrac{}{}{1pt}{}{\neg(m\wedge p),\ m\wedge s}{s\wedge\neg p} \)

 

 

Modus Disamis (IAI3)

  1. \( \displaystyle\vdash\ \genfrac{}{}{1pt}{}{m\wedge p,\ \neg m\vee s}{s\wedge p} \)

 

 

Modus Bocardo (OAO3)

  1. \( \displaystyle\vdash\ \genfrac{}{}{1pt}{}{m\wedge\neg p,\ \neg m\vee s}{s\wedge\neg p} \)

 

 

Modus Darapti (AAI3=

  1. \( \displaystyle\vdash\ \genfrac{}{}{1pt}{}{\neg m\vee p,\ \neg m\vee s}{s\wedge p} \)

 

 

Modus Felapton (EAO3)

  1. \( \displaystyle\vdash\ \genfrac{}{}{1pt}{}{(\neg(m\wedge p),\ \neg m\vee s}{s\wedge\neg p} \)

Modi der vierten Figur

Modus Calemes (AEE4)

  1. \( \displaystyle\vdash\ \genfrac{}{}{1pt}{}{\neg p\vee m,\ \neg(m\wedge s)}{\neg(s\wedge p)} \)

 

 

Modus Fresison (EIO4)

  1. \( \displaystyle\vdash\ \genfrac{}{}{1pt}{}{\neg(p\wedge m),\ m\wedge s}{s\wedge\neg p} \)

 

 

Modus Dimatis (IAI4)

  1. \( \displaystyle\vdash\ \genfrac{}{}{1pt}{}{p\wedge m,\ m\wedge s}{s\wedge p} \)

 

 

Modus Bamalip (AAI4)

  1. \( \displaystyle\vdash\ \genfrac{}{}{1pt}{}{\neg p\vee m,\ \neg m\vee s}{s\wedge p} \)

 

 

Modus Fesapo (EAO4)

  1. \( \displaystyle\vdash\ \genfrac{}{}{1pt}{}{\neg(p\wedge m),\ \neg m\vee s}{s\wedge\neg p} \)

 

 

Modus Camelop (AEO4)

  1. \( \displaystyle\vdash\ \genfrac{}{}{1pt}{}{\neg p\vee m,\ \neg(m\wedge s)}{s\wedge\neg p} \)