Hausaufgabenblatt 3

 

Aufgabe HA 9

 

Es seien \( M \) eine nichtleere Menge, ferner \( \sim \) eine Äquivalenzrelation auf \( M, \) und \[ K_a:=\{x\in M\,:\,x\sim a\} \] bezeichne die zu \( a\in M \) gehörige Äquivalenzklasse. Beweisen Sie, dass dann für alle \( a,b\in M \) gilt \[ a\sim b\quad\mbox{genau dann, wenn}\quad K_a=K_b\,. \]

 

Lösung

 

Sei zunächst \( a\sim b. \) Dann haben wir

 

\( \circ \) \( K_a\subseteq K_b \), denn es ist
\[ \begin{array}{lll} x\in K_a\quad & \Longrightarrow & \quad x\sim a & \quad\mbox{nach Definition von}\ K_a \\ & \Longrightarrow & \quad x\sim a\,\wedge\,a\sim b & \quad\mbox{nach Voraussetzung} \\ & \Longrightarrow & \quad x\sim b & \!\!\quad\mbox{wegen Transitivität von}\ \sim \\ & \Longrightarrow & \quad x\in K_b & \quad\mbox{nach Definition von}\ K_b \end{array} \]
\( \circ \) \( K_b\subseteq K_a, \) denn es ist
\[ \begin{array}{llll} x\in K_b\quad & \Longrightarrow & \quad x\sim b & \quad\mbox{nach Definition von}\ K_b \\ & \Longrightarrow & \quad b\sim x & \!\!\quad\mbox{wegen Symmetrie von}\ \sim \\ & \Longrightarrow & \quad a\sim b\,\wedge\,b\sim x & \quad\mbox{nach Voraussetzung} \\ & \Longrightarrow & \quad a\sim x & \!\!\quad\mbox{wegen Transitivität von}\ \sim \\ & \Longrightarrow & \quad x\sim a & \!\!\quad\mbox{wegen Symmetrie von}\ \sim \\ & \Longrightarrow & \quad x\in K_a & \quad\mbox{nach Definition von}\ K_a \end{array} \] Insgesamt folgt also \( K_a=K_b. \) Sei nun umgekehrt \( K_a=K_b. \) Wir schließen auf analoge Weise \[ \begin{array}{l} a\in K_a=K_b\quad\Longrightarrow\quad a\in K_b\quad\Longrightarrow\quad a\sim b \\ b\in K_b=K_a\quad\Longrightarrow\quad b\in K_a\quad\Longrightarrow\quad b\sim a\quad\Longrightarrow\quad a\sim b. \end{array} \] Insgesamt folgt also \( a\sim b. \) Damit ist die Behauptung bewiesen.\( \qquad\Box \)

 

 

Aufgabe HA 10

 

Für natürliche Zahlen \( k,\ell,m,n\in\mathbb N_0 \) wurde in der Vorlesung die Addition zwischen ganzen Zahlen erklärt gemäß \[ [(k,\ell)]_{\mathbb Z}+[(m,n)]_{\mathbb Z}:=[(k+m,\ell+n)]_{\mathbb Z} \] Beweisen Sie, dass diese Definition unabhängig von der Wahl der Repräsentanten der verwendeten Äquivalenzklassen ist, d.h. mit \( (k,\ell)\sim_{\mathbb Z}(k',\ell') \) und \( (m,n)\sim_{\mathbb Z}(m',n') \) gilt genauer \[ [(k+m,\ell+n)]_{\mathbb Z}=[(k'+m',\ell'+n')]_{\mathbb Z}\,. \]

 

Lösung

 

Es seien \( (k,\ell)\sim_{\mathbb Z}(k',\ell') \) und \( (m,n)\sim_{\mathbb Z}(m',n') \) bzw. nach Definition \[ k+\ell'=\ell+k'\,,\quad m+n'=n+m'\,. \] Es folgt \[ \begin{array}{cl} & k+\ell'=\ell+k' \\ \Longrightarrow & k+\ell'+m=\ell+k'+m \\ \Longrightarrow & k+\ell'+m+n'=\ell+k'+m+n' \\ \Longrightarrow & k+\ell'+m+n'=\ell+k'+n+m' \end{array} \] und damit \[ (k+m,\ell+n)\sim_{\mathbb Z}(k'+m',\ell'+n') \] bzw. \[ [(k+m,\ell+n)]_{\mathbb Z}=[(k'+m',\ell'+n')]_{\mathbb Z}\,. \] Das zeigt die Unabhängigkeit von der Wahl des Repräsentanten.\( \qquad\Box \)

 

 

Aufgabe HA 11

 

Es sei \( n\in\mathbb N. \) Bestimmen Sie einen expliziten Ausdruck für die Summe \[ S_n:=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\ldots+\frac{1}{(n-1)\cdot n}\quad\mbox{für}\ n\ge 2. \] Gegen welchen Wert \( S \) konvergiert \( S_n \) im Grenzfall \( n\to\infty? \) Geben Sie dabei \( S \) ohne weitere Begründung an.

 

Lösung

 

Wir ermitteln \[ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\ldots+\frac{1}{(n-1)\cdot n} \\[1ex] \qquad\displaystyle =\,\frac{2-1}{1\cdot 2}+\frac{3-2}{2\cdot 3}+\frac{4-3}{3\cdot 4}+\ldots+\frac{n-(n-1)}{(n-1)\cdot n} \\[1ex] \qquad\displaystyle =\,\frac{2}{1\cdot 2}-\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{3}{2\cdot 3}-\frac{2}{2\cdot 3}+\frac{4}{3\cdot 4}-\frac{3}{3\cdot 4} +\ldots+\frac{n}{(n-1)\cdot n}-\frac{n-1}{(n-1)\cdot n} \\[1ex] \qquad\displaystyle =\,1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n} \\[1ex] \qquad\displaystyle =\,1-\frac{1}{n}\,. \end{array} \] Im Fall \( n\to\infty \) konvergiert \( S_n \) gegen den Wert \( 1.\qquad\Box \)

 

 

Aufgabe HA 12

 

Einerseits gibt es „weniger“ Quadratzahlen (d.h. Zahlen der Form \( n^2 \) mit \( n\in \mathbb N \)) als natürliche Zahlen, da alle Quadratzahlen natürlich, aber z.B. die Zahl \( 3 \) kein Quadrat ist. Andererseits, so argumentierte G. Galilei, gibt es „genauso viele“ Quadratzahlen wie natürliche Zahlen. Wie könnte er argumentiert haben? Gibt es einen Widerspruch?

 

Lösung

 

Betrachte das folgende Schema:

 

\( 1 \)
\( 2 \)
\( 3 \)
\( 4 \)
\( \cdots \)
\( n \)
\( \cdots \)
\( \uparrow\downarrow \)
\( \uparrow\downarrow \)
\( \uparrow\downarrow \)
\( \uparrow\downarrow \)
 
\( \uparrow\downarrow \)
 
\( 1 \)
\( 4 \)
\( 9 \)
\( 16 \)
\( \cdots \)
\( n^2 \)
\( \cdots \)

 

Mit dem aus der Schule stammenden Wissen, dass die auf \( \mathbb N \) eingeschränkten Abbildungen \( x\mapsto x^2\,\big|_{\mathbb N} \) und \( x\mapsto\sqrt{x}\,|_{\mathbb N} \) eineindeutig sind, überlegt sich man nun, dass dieses Schema eine bijektive Abbildung zwischen der Menge der natürlichen Zahlen und der Menge der Quadratzahlen veranschaulicht. Also sind beide Mengen gleichmächtig.\( \qquad\Box \)