Hausaufgabenblatt 5
Aufgabe HA 17
Handelt es sich im Folgenden um rationale Nullfolgen? Begründen Sie der Definition aus der Vorlesung folgend.
| (i) | \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb Q \) mit \( \displaystyle x_n:=\frac{(-1)^n}{1+2n} \) |
| (ii) | \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb Q \) mit \( \displaystyle x_n:=\frac{n^2}{4+2n^2} \) |
Aufgabe HA 18
Handelt es sich im Folgenden um rationale Cauchyfolgen? Begründen Sie der Definition aus der Vorlesung folgend.
| (i) | \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) mit \( \displaystyle x_n:=\frac{n}{1+n^2} \) |
| (ii) | \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) mit \( \displaystyle x_n:=\frac{n}{1+\frac{1}{n^2}} \) |
Aufgabe HA 19
Betrachten Sie folgende rekursiv gegebene, rationale Zahlenfolge \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb Q \) mit den Gliedern \[ x_1:=1,\quad x_{n+1}:=\frac{1}{1+x_n}\ \mbox{für}\ n=2,3,4,\ldots \]
| (i) | Ermitteln Sie \( x_n \) für \( n=1,2,3,4. \) |
| (ii) | Beweisen Sie |
\[ \frac{1}{2}\le x_n\le 1\quad\mbox{für alle}\ n=1,2,\ldots \]
| (iii) | Schließen Sie daraus |
\[ |x_{n+1}-x_n|\le\left(\frac{4}{9}\right)^{n-1}|x_2-x_1|\quad\mbox{für alle}\ n=1,2,\ldots \]
| (iv) | Leiten Sie damit her |
\[ |x_{n+k}-x_n|\le 2\left(\frac{4}{9}\right)^{n-1}|x_2-x_1|\quad\mbox{für alle}\ n=1,2,\ldots \]
| (v) | Beweisen Sie nun, dass \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) eine rationale Cauchyfolge darstellt. Benutzen Sie dabei ohne Beweis |
\[ \left(\frac{4}{9}\right)^n\longrightarrow 0\quad\mbox{für}\ n\to\infty\,. \]
Aufgabe HA 20
Beweisen Sie, dass es sich bei nachstehen Zahlenfolgen um rationale bzw. reelle Cauchyfolgen handelt (Begriffe wie bei rationalen Zahlenfolgen zu verstehen).
| (i) | \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb Q \) mit \( \displaystyle x_n:=\sqrt{n+1}-\sqrt{n} \) |
| (ii) | \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb Q \) mit \( \displaystyle x_n:=\frac{n}{2^n} \) |
Hinweis zu (i): Benutzen Sie aus der Schule bekannte Rechenregeln für die Wurzelfunktion.
Hinweis zu (ii): Zeigen Sie vermittels vollständiger Induktion \[ 2m+1\le 2^m\quad\mbox{und}\quad m^2\le 2^m\quad\mbox{für alle}\ m\ge 4, \] und schließen Sie aus der zweiten Ungleichung auf \[ \frac{m}{2^m}\le\frac{1}{m}\quad\mbox{für alle}\ m\ge 4. \]