Hausaufgabenblatt 8
Aufgabe HA 32
Betrachten Sie die beiden Reihen \[ \begin{array}{l} \displaystyle \sum_{k=0}^\infty a_k\quad\mbox{mit}\ \{a_k\}_{k=0,1,2,\ldots}=\{2,2,2^2,2^3,2^4,\ldots\} \\[2ex] \displaystyle \sum_{k=0}^\infty b_k\quad\mbox{mit}\ \{b_k\}_{k=0,1,2,\ldots}=\{-1,1,1,1,1,\ldots\} \end{array} \] Beide Reihen konvergieren nicht. Beweisen Sie, dass hingegen ihr Cauchyprodukt konvergiert, und ermitteln Sie dessen Wert.
Aufgabe HA 33
Der Konvergenzradius \( R \) einer komplexwertigen Reihe \[ P(z):=\sum_{k=0}^\infty a_kz^k \] kann, analog wie im Satz von Cauchy-Hadamard in der Vorlesung diskutiert, auch aus dem Quotientenkriterium gewonnen werden.
| (i) | Formulieren und beweisen Sie eine sich aus diesem Ansatz ergebende hinreichende Konvergenzaussage. (Es genügt also der erste Teil, die Konvergenzaussage des Quotientenkriteriums.) |
| (ii) | Beweisen Sie, dass folgende Potenzreihe für alle \( z\in\mathbb C \) konvergiert |
\[ P(z):=\sum_{k=0}^\infty\frac{2^k}{k!}\,z^k\,. \]
| (i) | Wir setzen |
\[ c_k:=a_kz^k\,. \]
| Nach dem Quotientenkriterium konvergiert die Reihe \( \displaystyle\sum_{k=0}^\infty c_k, \) falls |
\[ \limsup_{k\to\infty}\left|\frac{c_{k+1}}{c_k}\right|\lt 1. \]
| Das bedeutet aber für \( z\not=0 \) (für \( z=0 \) findet Konvergenz natürlich statt) |
\[ \left|\frac{c_{k+1}}{c_k}\right| =\frac{|a_{k+1}z^{k+1}|}{|a_kz^k|} =\frac{|a_{k+1}||z|^{k+1}}{|a_k||z|^k} =|z|\cdot\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|, \]
| wobei wir \( a_k\not=0 \) für \( k=0,1,2,\ldots \) annehmen. Wir formulieren also: Sei \( a_k\not=0 \) für alle \( k=0,1,2,\ldots \) Es konvergiert die Reihe |
\[ \sum_{k=0}^\infty a_kz^k \]
| für alle \( z\in\mathbb C \) mit |
\[ |z|\lt R\quad\mbox{mit}\ R:=\left(\limsup_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|\right)^{-1}\,. \]
|
(ii)
|
In diesem Fall ist \( a_k=\frac{2^k}{k!} \) mit \( a_k\not=0 \) für alle \( k=0,1,2,\ldots \) Wir ermitteln weiter |
\[ \left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| =\frac{2^{k+1}k!}{(k+1)!2^k} =\frac{2}{k+1} \longrightarrow 0\quad\mbox{für}\ k\to\infty\,. \]
| Also konvergiert die Reihe in ganz \( \mathbb C. \) |
Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)
Aufgabe HA 34
Bestimmen Sie die Konvergenzradien folgender Potenzreihen.
| (i) | \( \displaystyle\sum_{k=0}^\infty k^mm^kz^k\quad\mbox{für}\ m\in\mathbb N \) |
| (ii) | \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\left(\frac{k+1}{k}\right)k^2z^k \) |
Benutzen Sie eventuell den Satz von d'Alembert.
| (i) | Es ist \( R=\frac{1}{m}, \) denn für alle \( z\in\mathbb C \) mit \( |z|\lt\frac{1}{m} \) ermitteln wir |
\begin{align} \lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| &= \lim_{k\to\infty}\frac{(k+1)^mm^{k+1}|z|^{k+1}}{k^mm^k|z|^k} \\[1.6ex] &= \lim_{k\to\infty}\left(\frac{k+1}{k}\right)^mm|z| =m|z|\lim_{k\to\infty}\left(\frac{k+1}{k}\right)^m \\[1.6ex] &= m|z|\lt 1. \end{align}
| Der Satz von d'Alembert liefert die Behauptung. |
| (ii) | Es ist \( R=1, \) denn für alle \( z\in\mathbb C \) mit \( |z|\lt 1 \) ermitteln wir |
\begin{align} \lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| &= \lim_{k\to\infty}\frac{\frac{k+2}{k+1}\,(k+1)^2|z|^{k+1}}{\frac{k+1}{k}\,k^2|z|^k} \\[2ex] &= \lim_{k\to\infty}\frac{k(k+2)}{(k+1)^2}\,\frac{(k+1)^2}{k^2}\,|z| \\[2ex] &= \lim_{k\to\infty}\frac{k^2+2k}{k^2+2k+1}\,\frac{k^2+2k+1}{k^2}\,|z| \\[2ex] &= 1\cdot 1\cdot|z|=|z|\lt 1. \end{align}
| Der Satz von d'Alembert liefert die Behauptung. |
Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)
Aufgabe HA 35
Beweisen Sie, dass die Potenzreihe \[ P(z):=\sum_{k=0}^\infty k^kz^k \] mit der Setzung \( 0^0:=1 \) für kein \( z\in\mathbb C\setminus\{0\} \) konvergiert.
Die Potenzreihe \[ \sum_{k=0}^\infty k^kz^k\quad\mbox{mit}\ a_k=k^k\,,\ k=0,1,2,\ldots\,, \] konvergiert im Punkt \( z=0. \) Weiter ist mit den Setzungen aus der Vorlesung \[ \alpha=\limsup_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_k|}=\limsup_{k\to\infty}\sqrt[k]{k^k}=\lim_{k\to\infty}k=+\infty \] und damit \( R=0. \) Es gibt also kein weiteres \( z\in\mathbb C, \) in welchem die Potenzreihe konvergiert.\( \qquad\Box \)
Aufgabe HA 36
Beweisen Sie, dass folgende Reihe absolut konvergent ist \[ \sum_{m,n=2}^\infty\frac{1}{m^n}\,. \]
Zunächst liefert die geometrische Summenformel für festes \( m\ge 2 \) \begin{align} \sum_{n=2}^\infty\frac{1}{m^n} &= \sum_{n=0}^\infty\frac{1}{m^n}-\frac{1}{m}-1 =\frac{1}{1-\frac{1}{m}}-\frac{1}{m}-1 \\[2ex] &= \frac{m}{m-1}-\frac{1}{m}-\frac{m-1}{m-1} =\frac{m-m+1}{m-1}-\frac{1}{m} \\[2ex] &= \frac{1}{m-1}-\frac{1}{m}\,. \end{align} Wir gelangen also zu folgender Teleskopreihe für \( M\in\mathbb N, \) \( M\ge 2, \) \[ \begin{array}{l} \displaystyle \sum_{m=2}^M\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{m^n} =\sum_{m=2}^M\left(\frac{1}{m-1}-\frac{1}{m}\right) \\[2ex] \quad\displaystyle =\,1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots-\frac{1}{M-1}+\frac{1}{M-1}-\frac{1}{M} \,=\,1-\frac{1}{M} \end{array} \] und damit im Grenzfall \( M\to\infty \) \[ \lim_{K\to\infty}\sum_{m=2}^M\sum_{n=2}^M\frac{1}{m^n}=\sum_{m=2}^\infty\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{m^n}=1. \] Nun ist aber die Doppelreihe für jede Abzählung von \( \{2,3,\ldots\}\times\{2,3,\ldots\} \) konvergent, denn die zugehörigen Partialsummen sind monoton wachsend und nach oben durch \( 1 \) beschränkt, wie gerade ermittelt, d.h. jede solche Partialsumme kann wie folgt abgeschätzt werden \[ \sum_{k=1}^M\frac{1}{m_k^{n_k}}\le\sum_{m=2}^K\sum_{n=2}^K\frac{1}{m^n}\le 1. \] Also ist die Doppelreihe absolut konvergent.\( \qquad\Box \)
Aufgabe HA 37
Beweisen Sie mit Hilfe der Funktionalgleichung der komplexen Exponentialreihe, dass kein \( z\in\mathbb R \) existiert mit \[ \exp z=0. \] Hinweis: Die Annahme \( \exp z_0=0 \) führt auf \( \exp z=0 \) für alle \( z\in\mathbb C \) im Widerspruch \( \exp 0=1. \) Warum gilt eigentlich \( \exp 0=1? \)
Angenommen, es ist \( z_0 \) eine Nullstelle der komplexen Exponentialreihe, d.h. \[ \exp z_0=0. \] Wegen der Funktionalgleichung \[ \exp(z+w)=\exp z\cdot\exp w\quad\mbox{für alle}\ z,w\in\mathbb C \] und wegen \( \exp z\in\mathbb R \) für alle \( z\in\mathbb R, \) denn die Exponentialreihe konvergiert nach Vorlesung in ganz \( \mathbb R, \) ist daher insbesondere \begin{align} \exp z &= \exp(z-z_0+z_0) =\exp(z-z_0)\cdot\exp z_0 \\[0.6ex] &= \exp(z-z_0)\cdot 0 =0 \end{align} für alle \( z\in\mathbb C. \) Es ist aber \( \exp 0=1, \) denn wie in der Vorlesung erläutert ist \[ \exp 0=\sum_{k=0}^\infty\frac{z^k}{k!}\,\Big|_{z=0}=\frac{0^0}{0!}+0+0+0+\ldots=1+0+0+0+\ldots=1 \] und damit \( \exp 0\not=0. \) Das ist ein Widerspruch.\( \qquad\Box \)