Hausaufgabenblatt 10
Aufgabe HA 43
Vorgelegt sei eine Funktion \( f\colon\mathbb R\to\mathbb R \) mit der Eigenschaft \[ |f(x)|\le|x|\quad\mbox{für alle}\ x\in\mathbb R. \] Beweisen Sie, dass \( f \) in \( x_0=0 \) stetig ist.
Zunächst ist \[ |f(0)|\le 0,\quad\mbox{also}\quad f(0)=0. \] Zu vorgegebenem \( \varepsilon\gt 0 \) setzen wir \( \delta(\varepsilon):=\varepsilon. \) Dann folgt für alle \( x\in\mathbb R \) mit \( |x|\lt\delta(\varepsilon) \) \[ |f(x)-f(0)| =|f(x)| \le|x| \lt\delta(\varepsilon) =\varepsilon. \] Also ist \( f \) in \( x_0=0 \) stetig.\( \qquad\Box \)
Aufgabe HA 44
Es seien \( a\lt b \) reelle Zahlen. Zeigen Sie, dass jede stetige Funktion \( f\colon[a,b]\to[a,b] \) einen Fixpunkt besitzt, d.h. es existiert ein \( \xi\in[a,b] \) mit der Eigenschaft \[ f(\xi)=\xi. \]
Betrachte die stetige Funktion \[ g(x):=f(x)-x,\quad x\in[a,b]. \] Wegen \( f(x)\in[a,b] \) für alle \( x\in[a,b] \) folgen \[ g(a)=f(a)-a\ge 0,\quad g(b)=f(b)-b\le 0. \] Gelten \( f(a)=a \) oder \( f(b)=b, \) so ist die Behauptung mit \( \xi=a \) bzw. \( \xi=b \) gezeigt. Gelten andernfalls \( f(a)\gt a \) und \( f(b)\lt b, \) so lesen wir \( g(a)\gt 0 \) und \( g(b)\lt 0 \) ab. Nach dem Zwischenwertsatz von Bolzano-Weierstraß existiert also ein \( \xi\in[a,b] \) mit \( g(\xi)=0. \) Damit ist die Behauptung bewiesen.\( \qquad\Box \)
Aufgabe HA 45
Wir betrachten die reelle Exponentialfunktion \[ f\colon\mathbb R\longrightarrow(0,\infty) \quad\mbox{vermöge}\quad x\mapsto e^x=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}\,. \]
| (i) | Zeigen Sie, dass die Funktion \( f \) für alle \( x\in\mathbb R \) wohldefiniert ist. |
| (ii) | Zeigen Sie \( e^x=\frac{1}{e^{-x}} \) sowie \( e^x\gt 0 \) für alle \( x\in\mathbb R. \) |
| (iii) | Zeigen Sie, dass \( f \) stetig in \( \mathbb R \) ist. |
| (iv) | Zeigen Sie, dass \( f \) in \( \mathbb R \) streng monoton wachsend ist. Es existiert also eine Umkehrfunktion |
\[ \ln\colon(0,\infty)\longrightarrow\mathbb R \]
| der natürliche Logarithmus} \( \ln x. \) Ist diese Funktion stetig in \( \mathbb R? \) | |
| (v) | Beweisen Sie die Rechenregeln |
\[ \ln(x\cdot y)=\ln x+\ln y,\quad \ln(x^{-1})=-\ln x \quad\mbox{für alle}\ x,y\in(0,\infty). \]
| (i) | Wohldefiniert in \( \mathbb R \) bedeutet: \( f \) existiert für alle \( x\in\mathbb R. \) Nach dem Quotientenkriterium ist das auch richtig, denn mit \( a_k:=\frac{x^k}{k!} \) ermitteln wir für \( x\not=0 \) (in \( x=0 \) ist die Reihe konvergent) |
\[ \left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| =\frac{|x|^{k+1}}{(k+1)!}\cdot\frac{k!}{|x|^k} =\frac{|x|}{k+1}\longrightarrow 0 \quad\mbox{für}\ k\to\infty\,. \]
| (ii) | Mit der Funktionalgleichung \( e^xe^y=e^{x+y} \) und mit \( e^0=1 \) ist |
\[ e^xe^{-x}=e^{x-x}=e^0=1 \quad\mbox{bzw.}\quad e^x=\frac{1}{e^{-x}}\ \mbox{mit}\ e^{-x}=\frac{1}{e^x}\,. \]
| Aus der Reihenentwicklung |
\[ x\mapsto e^x=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!} \]
| folgen nun \( e^0=1\gt 0, \) dann \( e^x\gt 0 \) für \( x\gt 0, \) und wegen \( e^x=\frac{1}{e^{-x}} \) folgt \( e^x\gt 0 \) auch für \( x\lt 0. \) Insgesamt erhalten wir also |
\[ e^x\gt 0\quad\mbox{für alle}\ x\in\mathbb R. \]
| (iii) | Die Reihe \( x\mapsto e^x \) konvergiert nach (i) für alle \( x\in\mathbb R \) absolut. Wähle nun ein \( r\in[0,\infty), \) so ist für alle \( x\in\mathbb R \) mit \( |x|\le r \) und alle \( N\in\mathbb N \) |
\[ \left|\,\sum_{k=0}^N\frac{x^k}{k!}\right| \le\sum_{k=0}^N\frac{|x|^k}{k!} \le\sum_{k=0}^N\frac{r^k}{k!} \le\sum_{k=0}^\infty\frac{r^k}{k!} \lt\infty \]
| nach dem Quotientenkriterium, und zwar ähnlich wie in (i). Es folgt |
\[ \left|\,\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}\right| \le\sum_{k=0}^\infty\frac{|x|^k}{k!} \le\sum_{k=0}^\infty M_k\lt\infty\quad\mbox{mit}\ M_k:=\frac{r^k}{k!}\,, \]
| und der Weierstraßsche Majorantentest sichert die gleichmäßge Konvergenz der Exponentialreihe. Die Reihe \( \{S_n\}_{n=0,1,2,\ldots} \) der Partialsummen |
\[ S_n:=\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!} \]
| konvergiert also gleichmäßig, und die im Grenzfall resultierende Exponentialreihe ist stetig für alle \( x\in\mathbb R \) mit \( |x|\le r. \) Da aber \( r\ge 0 \) beliebig gewählt werden wurde, folgt die Stetigkeit von \( e^x \) in ganz \( \mathbb R. \) |
| (iv) | Im Fall \( 0\le x\lt y \) haben wir |
\[ \sum_{k=0}^n\frac{y^k}{k!}-\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!} =\sum_{k=0}^n\frac{y^k-x^k}{k!} =\sum_{k=1}^n\frac{y^k-x^k}{k!} \gt 0 \]
| für alle \( n=1,2,\ldots, \) denn jeder Summand ist positiv. Also ist \( e^x \) streng monoton wachsend in \( [0,\infty) \) - beachte, dass auch im Grenzfall \( n\to\infty \) keine Gleichheit eintritt. Zusammen mit \( e^x=\frac{1}{e^{-x}} \) folgt die strenge Monotonie auch für die Fälle (ohne genaue Begründung) |
\[ x\lt 0\lt y\quad\mbox{und}\quad x\lt y\lt 0. \]
| Ferner entnehmen wir der Funktionalgleichung |
\[ e^{nx}=(e^x)^n\longrightarrow\infty\quad\mbox{für}\ n\to\infty \]
| für alle \( x\gt 0 \) unter erneuter Beachtung von \( e^0=1 \) und damit \( e^x\gt 1 \) für alle \( x\gt 0. \) Wegen \( e^x=\frac{1}{e^{-x}} \) folgt daraus |
\[ e^x\longrightarrow 0\quad\mbox{für}\ x\to-\infty\,. \]
| Nach geeigneter Anwendung des Zwischenwertsatzes von Bolzano-Weierstraß finden wir also für jedes \( y\in(0,\infty) \) genau ein \( x\in\mathbb R \) mit \( e^x=y. \) Es existiert also eine streng monoton wachsende Umkehrfunktion von \( e^x, \) der natürliche Logarithmus |
\[ \ln\colon(0,\infty)\longrightarrow\mathbb R. \]
| Nach dem Satz über die Stetigkeit der Umkehrfunktion ist der natürliche Logarithmus in \( \mathbb R \) stetig. |
| (v) | Die behaupteten Regeln folgen aus |
\[ e^{x+y}=e^x\cdot e^y\quad\mbox{und}\quad e^x=\frac{1}{e^{-x}}\,,\quad x\in\mathbb R. \]
| Setze beispielsweise \( z_1=e^x, \) \( z_2=e^y, \) so ist wegen \( e^{x+y}=e^x\cdot e^y \) |
\[ \ln z_1+\ln z_2=x+y=\ln(e^x\cdot e^y)=\ln(z_1\cdot z_2). \]
| Das ist die erste behauptete Identität. Oder: |
\[ z=\frac{1}{e^x}\,,\quad\mbox{damit}\ z^{-1}=e^x\ \mbox{und}\ \ln z^{-1}=x. \]
| Wir schließen \( z\cdot e^x=1 \) bzw. |
\[ \ln z+\ln e^x=0\quad\mbox{bzw.}\quad \ln z+x=0\quad\mbox{bzw.}\quad\ln z=-x \]
| und damit zusammengefasst |
\[ \ln z^{-1}=x\quad\mbox{und}\quad\ln z=-x \quad\mbox{bzw.}\quad \ln z^{-1}=-\ln z. \]
| Das ist die zweite behauptete Identität. |
Damit ist alles bewiesen.\( \qquad\Box \)
Aufgabe HA 46
Untersuchen Sie, in welchen Punkten \( x\in\mathbb R \) folgende Funktionen differenzierbar sind.
| (i) | \( f(x):=|x| \) |
| (ii) | \( g(x):=\left\{\begin{array}{cc} x^2\,, & x\le 0 \\ x, & x> 0 \end{array}\right. \) |
| (i) | Wir unterscheiden drei Fälle: |
| \( \circ\quad \)Im Fall \( x\gt 0 \) ist \( f(x)=x, \) und \( f(x) \) ist differenzierbar mit \( f'(x)=1. \) | |
| \( \circ\quad \)Im Fall \( x\lt 0 \) ist \( f(x)=-x, \) und \( f(x) \) ist differenzierbar mit \( f'(x)=-1. \) | |
| \( \circ\quad \)Es sei schließlich \( x_0=0. \) Dann ermitteln wir |
| sowie |
| d.h. \( f(x) \) ist in \( x_0=0 \) nicht differenzierbar. |
| (ii) | Wir unterscheiden drei Fälle: |
| \( \circ\quad \)Im Fall \( x\gt 0 \) ist \( f(x)=x, \) und \( f(x) \) mit \( f'(x)=1. \) | |
| \( \circ\quad \)Im Fall \( x\lt 0 \) ist \( f(x)=x^2, \) und \( f(x) \) ist differenzierbar mit \( f'(x)=2x. \) | |
| \( \circ\quad \)Es sei \( x_0=0. \) Mit \( f(0)=0 \) ermitteln wir |
| sowie |
| d.h. \( f(x) \) ist in \( x_0=0 \) nicht differenzierbar. |
Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)