Hausaufgabenblatt 12
Aufgabe HA 52
Unter Anwendung der Regel von l'Hospital sind folgende Grenzwerte zu ermitteln:
| (i) | \( \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} \) |
| (ii) | \( \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x} \) |
| (i) | Wir ermitteln |
\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{1}=1. \]
| (ii) | Wir ermitteln |
\[ \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{e^x}{1}=1. \] Damit sind die gesuchten Grenzwerte bestimmt.\( \qquad\Box \)
Aufgabe HA 53
Wir betrachten erneut die hyperbolische Funktion \[ f(x):=\sinh x=\frac{1}{2}\,(e^x-e^{-x}),\quad x\in\mathbb R. \]
| (i) | Stellen Sie eine Formel auf für die ersten \( k\in\mathbb N_0 \) Ableitungen |
\[ \frac{d^k}{dx^k}\,\sinh x. \]
| (ii) | Bestimmen Sie das Taylorpolynom \( T_n(x,x_0) \) sowie das Lagrangesche Restglied \( R_{n+1}(x,x_0) \) in der Taylorschen Formel |
\[ f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\,(x-x_0)^k+R_{n+1}(x,x_0) \]
| mit dem Entwicklungspunkt \( x_0=0. \) | |
| (iii) | Beweisen Sie |
\[ \lim_{n\to\infty}R_{n+1}(x,0)=0, \]
| und schließen Sie daraus auf die Taylorreihenentwicklung |
\[ \sinh x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\ldots \]
| (i) | Wir ermitteln |
\begin{align} &\frac{d}{dx}\,\sinh x =\frac{1}{2}\,\frac{d}{dx}\,\frac{e^x-e^{-x}}{2} =\frac{e^x+e^{-x}}{2} =\cosh x, \\[1.6ex] &\frac{d^2}{dx^2}\,\sinh x =\frac{d^2}{dx^2}\,\frac{e^x-e^{-x}}{2} =\frac{d}{dx}\,\frac{e^x+e^{-x}}{2} =\frac{e^x-e^{-x}}{2} =\sinh x \end{align}
| und damit |
\[ \frac{d^k}{dx^k}\,\sinh x =\left\{ \begin{array}{cl} \sinh x, & \mbox{falls}\ k=0,2,4,6,\ldots \\ \cosh x, & \mbox{falls}\ k=1,3,5,7,\ldots \end{array} \right. \]
| (ii) | Wegen |
\[ \sinh 0=0,\quad \cosh 0=1 \]
| erhalten wir |
\[ f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}\,x^2+\frac{f'''(0)}{3!}\,x^3+\ldots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^n+R_{n+1}(x,0) \]
| bzw. genauer |
\begin{align} &f(x)=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\ldots+\frac{x^n}{n!}+R_{n+1}(x,0),\quad\mbox{falls}\ n\ge 7\ \mbox{ungerade,} \\[1.6ex] &f(x)=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\ldots+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}+R_n(x,0),\quad\mbox{falls}\ n\ge 8\ \mbox{gerade.} \end{align}
| Das Lagrangesche Restglied lautet |
\begin{align} &R_{n+1}(x,0)=\frac{\cosh(x-\vartheta x)}{(n+1)!}\,x^{n+1}\,,\quad\mbox{falls}\ n\ge 7\ \mbox{ungerade}\,, \\[1.6ex] &R_n(x,0)=\frac{\sinh(x-\vartheta x)}{n!}\,x^n\,,\quad\mbox{falls}\ n\ge 8\ \mbox{gerade.} \end{align}
| (iii) | Wie in der Präsenzaufgabe PA 56 gelten auch hier für festes \( x\in\mathbb R \) |
\begin{align} &\lim_{n\to\infty}R_{n+1}(x,0)=\cosh(x-\vartheta x)\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}=0, \\[1.6ex] &\lim_{n\to\infty}R_n(x,0)=\sinh(x-\vartheta x)\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{x^n}{n!}=0, \end{align}
| so dass nach dem Satz aus der Vorlesung auch die folgende Taylorreihenentwicklung richtig ist |
\[ \sinh x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\ldots \] Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)
Aufgabe HA 54
Beweisen Sie unter Verwendung der Taylorschen Formel \[ -\,\frac{1}{8}\,x^2\le\sqrt{1+x}-\left(1+\frac{x}{2}\right)\le 0\quad\mbox{für}\ 0\le x\lt\infty\,. \]
Für die Funktion \( f(x)=\sqrt{1+x} \) ermitteln wir \[ f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{1+x}}\,,\quad f''(x)=-\,\frac{1}{4(1+x)^\frac{3}{2}} \] und daher mit einem geeigneten \( \vartheta\in(0,1) \) \[ f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{1}{2}\,f''(x-\vartheta x)x^2 =1+\frac{x}{2}-\frac{1}{8[x(1-\vartheta)+1]^\frac{3}{2}}\,x^2\,. \] Unter Beachtung von \[ 0\le\frac{1}{[x(1-\vartheta)+1]^\frac{3}{2}}\le 1\quad\mbox{für alle}\ x\ge 0\ \mbox{und alle}\ \vartheta\in(0,1) \] schließen wir auf \[ \sqrt{1+x}-\left(1+\frac{x}{2}\right) =1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8[x(1-\vartheta)+1]^\frac{3}{2}}-\left(1+\frac{x}{2}\right) \le\frac{x^2}{8}\,, \] und somit folgt nach Umstellen \[ -\,\frac{x^2}{8}\le\sqrt{1+x}-\left(1+\frac{x}{2}\right)\quad\mbox{für alle}\ x\ge 0. \] Das war zu zeigen.\( \qquad\Box \)
Aufgabe HA 55
Aus der bekannten Entwicklung \[ e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\ldots+\frac{x^n}{n!}+\ldots\,,\quad x\in\mathbb R, \] für die Exponentialfunktion ist folgende Approximation abzuleiten \[ \frac{1}{\sqrt{e}}\approx 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{8}-\frac{1}{48}+\frac{1}{384}-\frac{1}{3840}+\frac{1}{46080}=0.6065321180555\ldots \]
Wir ersetzen \( x=-\frac{1}{2} \) in der Taylorreihenentwicklung für \( e^x \) und erhalten \begin{align} e^{-\frac{1}{2}} &\approx 1-\frac{\frac{1}{2}}{1!}+\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^2}{2!}-\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^3}{3!}+\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^4}{4!} -\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^5}{5!}+\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^6}{6!} \\[1.6ex] &= 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{8}-\frac{1}{48}+\frac{1}{384}-\frac{1}{3840}+\frac{1}{46080} =0.6065321180555\ldots \end{align} Das war zu zeigen.\( \qquad\Box \)