Präsenzblatt 5
Aufgabe PA 18
Handelt es sich im Folgenden um rationale Nullfolgen? Begründen Sie der Definition aus der Vorlesung folgend.
| (i) | \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb Q \) mit \( \displaystyle x_n:=\frac{1}{n} \) |
| (ii) | \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb Q \) mit \( \displaystyle x_n:=\frac{1}{1+n^2} \) |
| (i) | Zu vorgegebenem \( \varepsilon\gt 0 \) existiert nach dem Archimedischen Axiom ein \( N(\varepsilon)\in\mathbb N \) mit |
\[ |x_n|\lt\varepsilon\quad\mbox{für alle}\ n\ge N(\varepsilon). \]
| Also stellt \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb Q \) eine rationale Nullfolge dar. | |
| (ii) | Wegen \( 1+n^2\ge n^2\ge n \) für alle \( n=1,2,\ldots \) ist |
\[ \frac{1}{1+n^2}\le\frac{1}{n^2}\le\frac{1}{n}\quad\mbox{für alle}\ n=1,2,\ldots \]
| Nach Aufgabenteil (i) existiert also zu vorgegebenem \( \varepsilon\gt 0 \) ein \( N(\varepsilon)\in\mathbb N \) mit |
\[ |x_n|\le\frac{1}{n}\lt\varepsilon\quad\mbox{für alle}\ n\ge N(\varepsilon), \]
| d.h. \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) ist eine rationale Nullfolge. |
Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)
Aufgabe PA 19
Handelt es sich im Folgenden um rationale Cauchyfolgen? Begründen Sie der Definition aus der Vorlesung folgend.
| (i) | \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) mit \( \displaystyle x_n:=\frac{1}{n} \) |
| (ii) | \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) mit \( \displaystyle x_n:=n \) |
| (i) | Wegen |
\[ |x_m-x_n|=\left|\frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right|\le\frac{1}{m}+\frac{1}{n} \]
| existiert nach dem Archimedischen Axiom zu jedem \( \varepsilon\gt 0 \) ein \( N(\varepsilon)\in\mathbb N, \) so dass |
\[ |x_m-x_n|\le\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\lt\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon \quad\mbox{für alle}\ m,n\ge N(\varepsilon). \]
| Also stellt \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) eine rationale Cauchyfolge dar. | |
| (ii) | Diese Folge stellt keine rationale Cauchyfolge dar. Wählen wir nämlich \( \varepsilon=\frac{1}{2}, \) so ist |
\[ |x_m-x_n|=|m-n|\lt\varepsilon=\frac{1}{2} \]
| nur im Fall \( m=n \) erfüllt. |
Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)
Aufgabe PA 20
Beweisen Sie, dass es sich bei nachstehender Zahlenfolge \[ \{x_n\}_{n=1,2,\ldots}\quad\mbox{mit}\quad x_n:=\frac{1}{\sqrt{n}} \] um eine reelle Nullfolge als auch um eine reelle Cauchyfolge handelt.
Hinweis: Benutzen Sie ohne Beweis, dass die Wurzelfunktion streng monoton wachsend ist, und arbeiten Sie mit reellen Folgen wie mit rationalen Folgen.
Zu vorgegebenem \( \varepsilon'\gt 0 \) existiert ein gemeinsames \( N'(\varepsilon')\in\mathbb N \) mit \[ \frac{1}{m}\lt\frac{\varepsilon'}{4} \quad\mbox{und}\quad \frac{1}{n}\lt\frac{\varepsilon'}{4} \quad\mbox{für all}\ m,n\ge N'(\varepsilon') \] bzw. nach Radizieren unter Beachtung des Hinweises \[ \frac{1}{\sqrt{m}}\lt\frac{\sqrt{\varepsilon'}}{2} \quad\mbox{und}\quad \frac{1}{\sqrt{n}}\lt\frac{\sqrt{\varepsilon'}}{2} \quad\mbox{für alle}\ m,n\ge N'(\varepsilon'). \] Setze nun \( \varepsilon:=\sqrt{\varepsilon'} \) und \( N(\varepsilon):=N'(\varepsilon')=N'(\varepsilon^2), \) so folgt \[ \frac{1}{\sqrt{m}}+\frac{1}{\sqrt{n}}\lt\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\quad\mbox{für alle}\ m,n\ge N(\varepsilon). \] Da nun \[ |x_m-x_n| =\left|\frac{1}{\sqrt{m}}-\frac{1}{\sqrt{n}}\right| \le\frac{1}{\sqrt{m}}+\frac{1}{\sqrt{n}} \lt\varepsilon \quad\mbox{für alle}\ m,n\ge N(\varepsilon), \] handelt es sich bei \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) um eine reelle Cauchyfolge.\( \qquad\Box \)
Aufgabe PA 21
Beweisen Sie:
| (i) | Sind \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) eine (reelle) Nullfolge und \( c\in\mathbb R, \) so ist auch \( \{c\cdot x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) eine (reelle) Nullfolge. |
| (ii) | Gibt es eine (reelle) Nullfolge \( \{y_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) mit \( |x_n|\le|y_n| \) für alle \( n=1,2,\ldots, \) so ist auch \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb R \) eine (reelle) Nullfolge. |
| (i) | Die Behauptung ist im Fall \( c=0 \) klar. Sei also \( c\not=0. \) Zu vorgegebenem \( \varepsilon'\gt 0 \) existiert ein \( N'(\varepsilon')\in\mathbb N \) mit |
\[ |x_n|\lt\varepsilon'\quad\mbox{für alle}\ n\ge N'(\varepsilon'), \]
| da \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) nach Voraussetzung eine Nullfolge ist. Sei nun \( \varepsilon\gt 0 \) beliebig gewählt, und setze dazu \( \varepsilon':=\frac{\varepsilon}{|c|}. \) Dann folgt |
\[ |cx_n|=|c|\cdot|x_n|\lt|c|\cdot\varepsilon'=\varepsilon\quad\mbox{für alle}\ n\ge N'(\varepsilon'). \]
| Setzen wir nun noch \( N(\varepsilon):=N'(\varepsilon')=N'(|c|^{-1}\varepsilon), \) so erhalten wir |
\[ |cx_n|\lt\varepsilon\quad\mbox{für alle}\ n\ge N(\varepsilon), \]
| d.h. es ist auch \( \{cx_n\}_{n=1,2,\ldots} \) eine Nullfolge ist. | |
| (ii) | Zu vorgegebenem \( \varepsilon\gt 0 \) existiert ein \( N(\varepsilon)\in\mathbb N \) mit |
\[ |y_n|\lt\varepsilon\quad\mbox{für alle}\ n\ge N(\varepsilon), \]
| da \( \{y_n\}_{n=1,2,\ldots} \) nach Voraussetzung eine Nullfolge ist. Wegen \( |x_n|\le|y_n| \) folgt daher |
\[ |x_n|\lt\varepsilon\quad\mbox{für alle}\ n\ge N(\varepsilon), \]
| d.h. es ist auch \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) eine Nullfolge. |
Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)