\[ 0!=1,\quad 1!=1,\quad 2!=1\cdot 2=2,\quad 3!=2\cdot 3=6,\quad 4!=6\cdot 4=24. \]

\begin{align} &\binom{0}{0}=1, \\[1ex] &\binom{1}{0}=1,\quad \binom{1}{1}=1, \\[1ex] &\binom{2}{0}=1,\quad \binom{2}{1}=2,\quad \binom{2}{2}=1, \\[1ex] &\binom{3}{0}=1,\quad \binom{3}{1}=3,\quad \binom{3}{2}=3,\quad \binom{3}{3}=1, \\[1ex] &\binom{4}{0}=1,\quad \binom{4}{1}=4,\quad \binom{4}{2}=6,\quad \binom{4}{3}=4,\quad \binom{4}{4}=1. \end{align} Das sind alle gesuchten Größen.\( \qquad\Box \)

\begin{align} \binom{n+1}{k+1} &= \frac{(n+1)!}{(k+1)!(n+1-k-1)!} =\frac{(n+1)n!}{(k+1)k!(n-k)!} \\[1.6ex] &= \frac{n+1}{k+1}\cdot\frac{n!}{k!(n-k)!} =\frac{n+1}{k+1}\binom{n}{k}. \end{align}

\begin{align} \binom{n}{k}+\binom{n}{k+1} &= \frac{n!}{k!(n-k)!}+\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!} \\[1.6ex] &= \frac{n!(k+1)}{(k+1)!(n-k)!}+\frac{n!(n-k)}{(k+1)!(n-k)!} \\[1.6ex] &= \frac{n!(k+1)+n!(n-k)}{(k+1)!(n-k)!} \\[1.6ex] &= \frac{n!(n+1)}{(k+1)!(n+1-k-1)!} \\[1.6ex] &= \frac{(n+1)!}{(k+1)!(n+1-k-1)!} \\[1.6ex] &= \binom{n+1}{k+1}. \end{align} Damit ist alles bewiesen.\( \qquad\Box \)

Im Fall \( m=0 \) erhalten wir \[ (x+y)^0 =\sum_{k=0}^m\binom{0}{k}x^ky^{0-k} =\binom{0}{0}x^0y^0 =1. \] Im Fall \( m=1 \) erhalten wir \[ (x+y)^1 =\sum_{k=0}^1\binom{1}{k}x^ky^{1-k} =\binom{1}{0}x^0y^1+\binom{1}{1}x^1y^0 =x+y. \] Im Fall \( m=2 \) erhalten wir \[ (x+y)^2 =\sum_{k=0}^2\binom{2}{k}x^ky^{2-k} =\binom{2}{0}x^0y^2+\binom{2}{1}x^1y^1+\binom{2}{2}x^2y^0 =y^2+2xy+y^2\,. \] Im Fall \( m=3 \) erhalten wir \begin{align} (x+y)^3 &= \sum_{k=0}^3\binom{3}{k}x^ky^{3-k} =\binom{3}{0}x^0y^3+\binom{3}{1}x^1y^2+\binom{3}{2}x^2y^1+\binom{3}{3}x^3y^0 \\[1.6ex] &= y^3+3xy^2+3x^2y+x^2\,. \end{align} Im Fall \( m=4 \) erhalten wir \begin{align} (x+y)^4 &= \sum_{k=0}^4\binom{4}{k}x^ky^{4-k} =\binom{4}{0}x^0y^4+\binom{4}{1}x^1y^3+\binom{4}{2}x^2y^2+\binom{4}{3}x^3y^1+\binom{4}{4}x^4y \\[1.6ex] &= y^4+4xy^3+6x^2y^2+4x^3y+x^4\,. \end{align} Damit sind alle gesuchten Identitäten.\( \qquad\Box \)

\[ 2^n=(1+1)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}1^k1^{n-k}=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}. \]

\[ 0=(-1+1)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}(-1)^k1^{n-k}=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}(-1)^k\,. \]

Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)

\[ \frac{1}{n}\lt\varepsilon\quad\mbox{für alle}\ n\ge N(\varepsilon) \quad\mbox{bzw.}\quad \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0. \]

\[ \frac{1}{n^k}\le\frac{1}{n}\lt\varepsilon\quad\mbox{für alle}\ n\ge N(\varepsilon) \quad\mbox{bzw.}\quad \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^k}=0. \]

\[ \frac{5n^4+n^3}{3n^4+n^2} =\frac{5+\frac{1}{n}}{3+\frac{1}{n^2}} \longrightarrow\frac{5+0}{3+0} =\frac{5}{3} \quad\mbox{für}\ n\to\infty \]

\[ \lim_{n\to\infty}\frac{5n^4+n^3}{3n^4+n^2}=\frac{5}{3}\,. \]

\[ \frac{n^3+7n}{n^4+4n^2-1} =\frac{\frac{1}{n}+\frac{7}{n^3}}{1+\frac{4}{n^2}-\frac{1}{n^4}} \longrightarrow\frac{0+0}{1+0-0}=0\quad\mbox{für}\ n\to\infty \]

\[ \lim_{n\to\infty}\frac{n^3+7n}{n^4+4n^2-1}=0. \]

Damit sind alle gesuchten Grenzwerte berechnet.\( \qquad\Box \)

\[ |x_n|\le 1\quad\mbox{für alle}\ n=1,2,\ldots \]

\[ \xi_1=-1,\quad \xi_2=1, \]

\[ \lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0. \]

\[ \xi=0. \] Damit sind alle gesuchten Häufungsstellen bestimmt.\( \qquad\Box \)