Präsenzblatt 9
Aufgabe PA 41
Bestimmen Sie sämtliche Häufungspunkte und sämtliche isolierte Punkte der folgenden Mengen \( M\subseteq\mathbb R: \)
| (i) | \( M=\mathbb N\cap[-4,4] \) |
| (ii) | \( M=[0,1]\cap\mathbb Q \) |
| (iii) | \( M=\mathbb R \) |
| (i) | Jedes Element der Menge \( M=\{1,2,3,4\} \) ist ein isolierter Punkt. Es gibt keine Häufungspunkte. |
| (ii) | Jedes \( x\in[0,1]\subset\mathbb R \) ist Häufungspunkt, da \( \mathbb Q \) in \( \mathbb R \) dicht liegt. Es gibt keine isolierten Punkte. |
| (iii) | Es gibt keine isolierten Punkte, alle \( x\in\mathbb R \) sind Häufungspunkte. |
Das war gesucht.\( \qquad\Box \)
Aufgabe PA 42
Sind die folgenden Mengen \( \Omega\subset\mathbb R \) offen, abgeschlossen oder kompakt - oder weder noch?
| (i) | \( \Omega=[0,1] \) |
| (ii) | \( \Omega=(0,1] \) |
| (iii) | \( \Omega=(0,1) \) |
| (i) | Die Menge ist abgeschlossen und beschränkt und damit auch kompakt. |
| (ii) | Die Menge ist weder offen noch abgeschlossen, also auch nicht kompakt. |
| (iii) | Die Menge ist offen, aber nicht abgeschlossen und daher auch nicht kompakt. |
Das war gesucht.\( \qquad\Box \)
Aufgabe PA 43
Beweisen Sie, dass die folgenden Funktionen \( f\colon D\to\mathbb R \) stetig in \( D\subseteq\mathbb R \) sind.
| (i) | \( f(x)=2x+5 \) mit \( D=\mathbb R \) |
| (ii) | \( f(x)=x^2 \) mit \( D=\mathbb R \) |
| (iii) | \( f(x)=\sqrt{x} \) mit \( D=[0,\infty) \) |
Verwenden Sie dabei die \( \varepsilon \)-\( \delta \)-Definition der Stetigkeit aus der Vorlesung.
| (i) | Die Stetigkeit der Funktion \( f(x)=ax+b \) wurde in der Vorlesung gezeigt. Hier ist speziell \( a=2 \) und \( b=5. \) |
| (ii) | Sei \( x_0\in\mathbb R \) beliebig gewählt. Zu \( \varepsilon\gt 0 \) setze |
\[ \delta=\delta(\varepsilon,x_0) :=\min\left\{1,\frac{\varepsilon}{1+2|x_0|}\right\}. \]
| Dann ist für alle \( x\in\mathbb R \) mit \( |x-x_0|\lt\delta(\varepsilon,x_0) \) |
\begin{align} |f(x)-f(x_0)| &= |x^2-x_0^2| =|(x+x_0)(x-x_0)| =|x+x_0||x-x_0| \\[0.6ex] &= |x-x_0+x_0+x_0||x-x_0| =|x-x_0+2x_0||x-x_0| \\[0.6ex] &\le (|x-x_0|+2|x_0|)|x-x_0| \lt(\delta+2|x_0|)|x-x_0| \\[0.6ex] &\le (\delta+2|x_0|)\delta \lt(1+2|x_0|)\delta \le\varepsilon. \end{align}
| Also ist \( f \) stetig in \( x_0, \) und da \( x_0\in\mathbb R \) beliebig gewählt wurde, ist \( f \) stetig in \( \mathbb R. \) |
| (ii) | Wähle \( x_0\in[0,\infty) \) beliebig. Zu \( \varepsilon\gt 0 \) setze |
\[ \delta=\delta(\varepsilon,x_0):=\varepsilon^2\,. \]
| Dann ist |
\[ |f(x)-f(x_0)|=|\sqrt{x}-\sqrt{x_0}|\le\sqrt{|x-x_0|}\lt\sqrt{\delta}=\varepsilon \]
| für alle \( x\in[0,\infty) \) mit \( |x-x_0|\lt\delta. \) Dabei folgt die Ungleichung |
\[ |\sqrt{x}-\sqrt{x_0}|\le\sqrt{|x-x_0|} \]
| nach Quadrieren beider Seiten, Umstellen und wegen der Monotonie der betrachteten Funktionen. Also ist \( f \) stetig in \( x_0, \) und da \( x_0\in[0,\infty) \) beliebig gewählt wurde, ist \( f \) stetig in \( [0,\infty). \) |
Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)
Aufgabe PA 44
Untersuchen Sie die Funktion \[ f(x):=x^2\,,\quad x\in[-1,1], \] auf gleichmäßige Stetigkeit in \( [-1,1]\subset\mathbb R. \)
Nach PA 43 ist \( f(x)=x^2 \) auf \( [-1,1] \) stetig. Wir zeigen die gleichmäßige Stetigkeit auf \( [-1,1]: \) \begin{align} |f(x)-f(y)| &= |x^2-y^2| =|(x+y)(x-y)| =|x+y||x-y| \\[0.6ex] &\le 2|x-y| \lt 2\delta(\varepsilon) =\varepsilon \end{align} für alle \( x,y\in[-1,1] \) mit \[ |x-y|\lt\delta(\varepsilon):=\frac{\varepsilon}{2} \] zu vorgelegtem \( \varepsilon\gt 0. \) Also ist \( f \) gleichmäßig stetig auf \( [-1,1].\qquad\Box \)
Aufgabe PA 45
Es seien \( f,g\colon D\to\mathbb R \) in \( x_0\in D \) stetig. Beweisen Sie, dass dann ebenfalls in \( x_0\in D \) stetig sind:
| (i) | \( (f+g)(x):=f(x)+g(x) \) |
| (ii) | \( (fg)(x):=f(x)g(x) \) |
Im Folgenden seien \( x_0\in D \) ein Häufungspunkt und \( \{x_n\}_{n=0,1,2,\ldots}\subset D\setminus\{x_0\} \) eine reelle Zahlenfolge mit \( x_n\to x_0 \) für \( n\to\infty. \) Wir benutzen die bekannten Rechenregeln für Grenzwerte reeller Zahlenfolgen.
| (i) | Mit \( h:=f+g \) ermitteln wir |
\[ \begin{array}{lll} \displaystyle \lim_{n\to\infty}h(x_n) & = & \displaystyle \lim_{n\to\infty}\big\{f(x_n)+g(x_n)\} \,=\,\lim_{n\to\infty}f(x_n)+\lim_{n\to\infty}g(x_n) \\[0.6ex] & = & \displaystyle f(x_0)+g(x_0) \,=\,h(x_0), \end{array} \]
| d.h. \( f+g \) ist in \( x_0\in D \) stetig. |
| (ii) | Mit \( h:=f\cdot g \) ermitteln wir |
\[ \lim_{n\to\infty}h(x_n) =\lim_{n\to\infty}f(x_n)g(x_n) =\lim_{n\to\infty}f(x_n)\cdot\lim_{n\to\infty}g(x_n) =f(x_0)g(x_0) =h(x_0), \]
| d.h. \( fg \) ist in \( x_0\in D \) stetig. |
Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)