Wir gehen in zwei Schritten vor.

\[ \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{g(x_0+h)-g(x_0)}=\frac{f(x_0+h)}{g(x_0+h)} \]

\[ \frac{f(x_0+h)}{g(x_0+h)}=\frac{f'(x_0+\vartheta h)}{g'(x_0+\vartheta h)}\,. \]

\[ \left|\,\frac{f'(x)}{g'(x)}-A\,\right|\lt\varepsilon\quad\mbox{für alle}\ x\in(x_0,x_0+h). \]

\[ \left|\,\frac{f(x_0+h)}{g(x_0+h)}-A\,\right|=\left|\,\frac{f'(x_0+\vartheta h)}{g'(x_0+\vartheta h)}-A\,\right|\lt\varepsilon \]

\[ \lim_{x\to x_0,\ x\gt x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=A. \] Wiederholt man diese Argumentation für \( x\to x_0 \) und \( x\lt x_0, \) folgt die Behauptung.\( \qquad\Box \)

\[ \lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}=\lim_{x\to 3}\frac{2x}{1}=6. \]

\[ \lim_{x\to 1}\frac{6x^5+x^2-7}{10-2x-8x^3}=\lim_{x\to 1}\frac{30x^4+2x}{-2-24x^2}=\frac{32}{-26}=-\,\frac{16}{13}\,. \]

Aus der Vorlesung wissen wir \[ \frac{d^k}{dx^k}\,e^x=e^x\,,\quad x\in\mathbb R, \] für \( k=0,1,2,\ldots, \) so dass mit \( f(x):=e^x \) im Entwicklungspunkt \( x_0=0 \) folgt \begin{align} T_n(x,0) &= f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}\,x^2+\frac{f'''(0)}{3!}\,x^3+\ldots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^n \\[1.6ex] &= 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\ldots+\frac{x^n}{n!}\,. \end{align} Für das Restglied \( R_{n+1}(x,0) \) schätzen wir wie folgt ab \[ |R_{n+1}(x,0)| =\frac{|f^{n+1}(x-\vartheta x)|}{(n+1)!}\,|x|^{n+1} =e^{(1-\vartheta)x}\,\frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!} \longrightarrow 0 \quad\mbox{für}\ n\to\infty\,. \] Im Entwicklungspunkt \( x_0=0 \) gilt daher auch die Taylorreihententwicklung \[ e^x=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}\,, \] welche mit der Definition der Exponentialfunktion übereinstimmt.\( \qquad\Box \)

\begin{align} \cos x &= 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}\pm\ldots, \\[1.6ex] \sin x &= x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}\pm\ldots \end{align}

\[ \cos x\approx 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}\,,\quad \sin x\approx x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}\,, \]

\[ \frac{d}{dx}\,\sum_{k=0}^\infty a_kx^k=\sum_{k=1}^\infty ka_kx^{k-1}\,. \]

\begin{align} \frac{d}{dx}\,\cos x &= \frac{d}{dx}\,\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k)!}\,y(x)^k =\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^kk}{(2k)!}\,y^{k-1}\cdot 2x \\[1.6ex] &= \sum_{k=1}^\infty\frac{2k(-1)^k}{(2k)!}\,x^{2k-2}x =\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k-1)!}\,x^{2k-1} \\[1.6ex] &= \sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^{k+1}}{(2k+1)!}\,x^{2k+1} =-\,\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\,x^{2k+1} \\[1.6ex] &= -\sin x. \end{align}

\begin{align} \frac{d}{dx}\,\sin x &= \frac{d}{dx}\,\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\,x^{2k+1} =\frac{d}{dx}\,\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\,x^{2k}x \\[1.6ex] &= \frac{d}{dx}\,x\cdot\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\,x^{2k} =\frac{d}{dx}\,x\cdot\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\,y(x)^k \\[1.6ex] &= \sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\,x^{2k}+x\cdot\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^kk}{(2k+1)!}\,y^{k-1}\cdot 2x \\[1.6ex] &= \sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\,x^{2k}+x\cdot\sum_{k=1}^\infty\frac{2k(-1)^k}{(2k+1)!}\,x^{2k-2}\cdot x \\[1.6ex] &= \sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\,x^{2k}+\sum_{k=1}^\infty\frac{2k(-1)^k}{(2k+1)!}\,x^{2k} \\[1.6ex] &= 1+\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\,x^{2k}+\sum_{k=1}^\infty\frac{2k(-1)^k}{(2k+1)!}\,x^{2k} \\[1.6ex] &= 1+\sum_{k=1}^\infty\frac{(2k+1)(-1)^k}{(2k+1)!}\,x^{2k} =1+\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k)!}\,x^{2k} \\[1.6ex] &= \sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k)!}\,x^{2k} =\cos x. \end{align}

\[ \frac{d}{dx}\,\cos x=-\sin x,\quad \frac{d^2}{dx^2}\,\cos x=-\cos x,\quad \frac{d^3}{dx^3}\,\cos x=\sin x,\quad \frac{d^4}{dx^4}\,\cos x=\cos x \]

\[ \frac{d^k}{dx^k}\,\cos x =\left\{ \begin{array}{cl} \cos x, & k=0,4,8,\ldots \\ -\sin x, & k=1,5,9,\ldots \\ -\cos x, & k=2,6,10,\ldots \\ \sin x, & k=3,7,11,\ldots \end{array} \right. \]

\[ \frac{d^k}{dx^k}\,\sin x =\left\{ \begin{array}{cl} \sin x, & k=0,4,8,\ldots \\ \cos x, & k=1,5,9,\ldots \\ -\sin x, & k=2,6,10,\ldots \\ -\cos x, & k=3,7,11,\ldots \end{array} \right. \]

\[ f''(x)+\frac{g}{\ell}\,f(x)=0. \]

\begin{align} f'(x) & =f_0\,\sqrt{\frac{g}{\ell}}\,\cos\left(\sqrt{\frac{g}{\ell}}\,x+x_0\right), \\[1.6ex] f''(x) &= -\,\frac{f_0g}{\ell}\,\sin\left(\sqrt{\frac{g}{\ell}}\,x+x_0\right)=-\frac{g}{\ell}\,f(x). \end{align}

\[ -\,\frac{g}{\ell}\,f(x)+\frac{g}{\ell}\,f(x)=0. \] Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)