Wiederholungsfragen

Kapitel 1: Grundlagen

1.1 Mathematische Logik

1.	Was verstehen wir unter einer Aussage?
2.	Was verstehen wir unter einer Aussageform?
3.	Wie sind die Junktoren \( \neg, \) \( \vee, \) \( \wedge, \) \( \to, \) \( \leftrightarrow \) definiert?
4.	Wie sind der Allquantor \( \forall \) und der Existenzquantor \( \exists \) definiert?
5.	Wie werden der Allquantor und der Existenzquantor negiert?

1.2 Mengenlehre

1.	Durch welche zwei Darstellungen kann eine Menge Menge \( M \) charakterisiert werden?
2.	Wie sind die Relationen \( A=B, \) \( A\subseteq B, \) \( A\subset B \) definiert?
3.	Wie sind die Operationen \( A\cup B, \) \( A\cap B, \) \( A\setminus B \) definiert?
4.	Was versteht man unter dem kartesischen Produkt \( A\times B \) zweier Mengen \( A \) und \( B? \)
5.	Was heißt eine Abbildung \( f\colon A\to B \) surjektiv?
6.	Was heißt eine Abbildung \( f\colon A\to B \) injektiv?
7.	Was heißt eine Abbildung \( f\colon A\to B \) bijektiv?
8.	Was verstehen wir unter der Umkehrabbildung bzw. inversen Abbildung?
9.	Was heißt eine Menge \( A \) endlich?

Kapitel 2: Elementare Zahlenbereiche

2.1 Die natürlichen Zahlen

1.	Auf welchem Axiomensystem beruht das System der natürlichen Zahlen?
2.	Wie lautet das Induktionsaxiom (P5)?
3.	Wie lautet das Kommutativgesetz der Addition?
4.	Wie lautet das Assoziativgesetz der Addition?
5.	Wie lautet die Kürzungsregel der Addition?
6.	Wie lautet das Kommutativgesetz der Multiplikation?
7.	Wie lautet das Assoziativgesetz der Multiplikation?
8.	Wie lautet die Kürzungsregel der Multiplikation?
9.	Wie lautet das Distributivgesetz?
10.	Wie lautet das Prinzip der vollständigen Induktion?
11.	Formulieren und beweisen Sie die Gaußsche Summenformel.
12.	Wie sind die Relationen \( \lt \) und \( \le \) auf \( \mathbb N_0 \) definiert?

2.2 Die ganzen Zahlen

1.	Wann heißt eine zweistellige Relation reflexiv, symmetrisch, transitiv?
2.	Was versteht man unter einer Äquivalenzrelation?
3.	Was versteht man unter einer Äquivalenzklasse?
4.	Wie ist die Äquivalenzrelation \( \sim_{\mathbb Z} \) auf \( \mathbb N_0 \) definiert?
5.	Wie haben wir die Menge \( \mathbb Z \) der ganzen Zahlen definiert?
6.	Wie sind Addition und Multiplikation in \( \mathbb Z \) definiert?

2.3 Die rationalen Zahlen

1.	Wie ist die Äquivalenzrelation \( \sim_{\mathbb Q} \) auf \( \mathbb Z\times\mathbb Z\setminus\{0\} \) definiert?
2.	Wie haben wir die Menge \( \mathbb Q \) der rationalen Zahlen definiert?
3.	Wie sind Addition und Multiplikation in \( \mathbb Q \) definiert?
4.	Wie lauten die Bruchrechenregeln?
5.	Wann heißt eine Menge abzählbar unendlich?
6.	Wann heißt eine Menge überabzählbar?
7.	Ist die Mengen \( \mathbb N_0 \) abzählbar unendlich? Begründen Sie.
8.	Ist die Mengen \( \mathbb Z \) abzählbar unendlich? Begründen Sie mit Hilfe eines geometrischen Schemas.
9.	Begründen Sie die Abzählbarkeit von \( \mathbb Q \) mit Hilfe des ersten Cantorschen Diagonalverfahrens. Erläutern Sie mit eigenen Worten.

Kapitel 3: Reelle und komplexe Zahlen

3.1 Einführung der reellen Zahlen

1.	Beweisen Sie, dass kein \( x\in\mathbb Q \) existiert mit \( x^2=2. \)
2.	Welchen Ansatz verfolgen wir zur Approximation von \( \sqrt{2}? \)
3.	Was versteht man unter einer rationalen Zahlenfolge?
4.	Wie lautet die geometrische Summenformel?
5.	Leiten Sie die geometrische Summenformel her.
6.	Was versteht man unter einer rationalen Cauchyfolge?
7.	Was versteht man unter einer rationalen Nullfolge?
8.	Wie ist die Äquivalenzrelation \( \sim_{\mathbb R} \) definiert?
9.	Wie haben wir die Menge \( \mathbb R \) der reellen Zahlen definiert?
10.	Wie haben wir die rationalen Zahlen in die reellen Zahlen eingebettet?

3.2 Eigenschaften reeller Zahlen I

1.	Was bedeutet die Beschränktheit der rationalen Cauchyfolgen?
2.	Wie sind Addition und Multiplikation in \( \mathbb R \) definiert?
3.	Wann ist eine rationale Cauchyfolge vom Typ \( R^+ \) bzw. \( R^-? \)
4.	Wann schreiben wir \( x=0, \) \( x\gt 0 \) oder \( x\lt 0 \) für eine reelle Zahl \( x\in\mathbb R? \)
5.	Wann schreiben wir \( x\lt y \) für reelle Zahlen \( x,y\in\mathbb R? \)
6.	Wie sind die Intervalle \( (x,y), \) \( (x,y], \) \( [x,y) \) und \( [x,y] \) definiert?
7.	Wie sind die Intervalle \( (-\infty,x), \) \( (-\infty,x], \) \( (x,\infty) \) und \( [x,\infty) \) definiert?
8.	Wie ist die multiplikative Inverse einer reellen Zahl definiert?
9.	Erläutern Sie die Aussage: Die reellen Zahlen bilden einen Archimedisch angeordneten Körper.

3.3 Eigenschaften reeller Zahlen II

1.	Was versteht man unter der Dezimaldarstellung einer reellen Zahl?
2.	Begründen Sie an einem Beispiel, dass die Dezimaldarstellung einer reellen Zahl nicht notwendig eindeutig ist.
3.	Was versteht man unter der Überabzählbarkeit der Menge der reellen Zahlen?
4.	Geben Sie eine grobe Beweisidee der Überabzählbarkeit der reellen Zahlen (zweites Cantorsches Diagonalverfahren).
5.	Was verstehen wir unter der Lösung der \( p \)-ten Potenzgleichung?
6.	Wie lautet das klassische Heronverfahren zur Bestimmung der Lösung der Gleichung \( x^2=2? \)

3.4 Reelle Zahlenfolgen

1.	Wann heißt eine reelle Zahlenfolge eine Nullfolge?
2.	Wann heißt eine reelle Zahlenfolge eine Cauchyfolge?
3.	Wann heißt eine reelle Zahlenfolge konvergent gegen ein \( x\in\mathbb R? \)
4.	Wann heißt eine reelle Zahlenfolge divergent?
5.	Beweisen Sie: Konvergiert die reelle Zahlenfolge gegen \( x \) und gegen \( y, \) so gilt notwendig \( x=y. \)
6.	Was versteht man unter dem Grenzwert einer reellen Zahlenfolge?
7.	Welche Rechenregeln haben wir für die Grenzwerte konvergenter Zahlenfolgen kennengelernt?
8.	Sind konvergente Zahlenfolgen beschränkt?
9.	Was können Sie über die Beschränktheit des Grenzwertes beschränkter konvergenter Zahlenfolgen aussagen?
10.	Was versteht man unter der Dichtheit von \( \mathbb Q \) in \( \mathbb R? \)
11.	Was versteht man unter der Vollständigkeit von \( \mathbb R? \)
12.	Beweisen Sie: Jede konvergente reelle Zahlenfolge ist eine reelle Cauchyfolge.
13.	Erläutern Sie den Begriff der Teilfolge.
14.	Was versteht man unter einem Häufungsstelle einer reellen Zahlenfolge?
15.	Wie lautet der Weierstraßsche Häufungsstellensatz (Weierstraßscher Auswahlsatz)?
16.	Wann heißt eine reelle Zahlen (streng) monoton wachsend bzw. (streng) monoton fallend?
17.	Was können Sie über die Konvergenz monotoner und beschränkter Zahlenfolgen aussagen?
18.	Wie ist das Supremum einer nichtleeren, nach oben beschränkten Menge erklärt?
19.	Wie ist das Infimum einer nichtleeren, nach unten beschränkten Menge erklärt?
20.	Was versteht man unter einer unteren bzw. oberen Schranke einer Menge?
21.	Wie ist der Limes superior einer reellen Zahlenfolge definiert?
21.	Wie ist der Limes inferior einer reellen Zahlenfolge definiert?

3.5 Komplexe Zahlen

1.	Was versteht man unter einer komplexen Zahl \( z? \)
2.	Was versteht man unter dem Realteil bzw. Imaginärteil einer komplexen Zahl \( z? \)
3.	Wie ist die Menge \( \mathbb C \) der komplexen Zahlen definiert?
4.	Wie sind Addition und Multiplikation in \( \mathbb C \) definiert?
5.	Wie ist die komplexe Einheit \( i \) definiert?
6.	Was verstehen wir unter der Eulerschen Darstellung einer komplexen Zahl \( z? \)
7.	Wie ist der Betrag \( \|z\| \) einer komplexen Zahl \( z \) definiert?
8.	Wie ist die komplex konjugierte Zahl \( \overline z \) einer komplexen Zahl \( z \) definiert?
9.	Wie lautet die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung?

Kapitel 4: Theorie der Reihen

4.1 Konvergente und divergente Reihen

1.	Was versteht man unter der \( n \)-ten Partialsumme?
2.	Was versteht man unter der zu den Partialsummen zugehörigen Reihe?
3.	Wann heißt eine Reihe beschränkt?
4.	Wann heißt eine Reihe konvergent?
5.	Wann heißt eine Reihe divergent?
6.	Wie lautet das Cauchysche Konvergenzkriterium für Reihen?
7.	Welche beiden notwendigen Kriterien haben wir aus dem Cauchyschen Konvergenzkriterium geschlossen?
8.	Wie lautet die geometrische Reihe? Wie lautet der Wert der konvergenten geometrischen Reihe?

4.2 Konvergenzkriterien

1.	Wie lautet das Majorantenkriterium?
2.	Wie lautet das Minorantenkriterium?
3.	Wie lautet die harmonische Reihe?
4.	Erläutern Sie N. Oresmes Beweis der Divergenz der harmonischen Reihe.
5.	Wie lautet das Leibnizkriterium?
6.	Welche alternierende Darstellung der Zahl \( \pi \) gab W. Leibniz 1682?
7.	Wie lautet das Wurzelkriterium?
8.	Wie lautet das Quotientenkriterium?

4.3 Umordnung von Reihen

1.	Wann heißt eine Reihe absolut konvergent?
2.	Welcher Zusammenhang besteht zwischen Konvergenz und absoluter Konvergenz?
3.	Wann heißt eine Reihe bedingt konvergent?
4.	Wie lautet die alternierende harmonische Reihe?
5.	Diskutieren Sie die alternierende harmonische Reihe auf Konvergenz, bedingter Konvergenz und aboluter Konvergenz.
6.	Was versteht man unter einer Umordnung einer Reihe?
7.	Wie lautet der erste Riemannsche Umordnungssatz?
8.	Wie lautet der zweite Riemannsche Umordnungssatz?

4.4 Doppelreihen

1.	Was versteht man unter einer Doppelreihe?
2.	Wann heßt eine Doppelreihe absolut konvergent?
3.	Warum ist der Wert einer absolut konvergenten Doppelreihe unabhängig von der Abzählung von \( \mathbb N_0\times\mathbb N_0? \)
4.	Wie lautet der Cauchysche Produktsatz?
5.	Wie geht in den Cauchyschen Produktsatz Cantors erstes Abzählverfahren ein?

4.5 Potenzreihen

1.	Was versteht man unter einer Potenzreihe?
2.	Wie lautet die Potenzreihe der komplexwertigen Exponentialfunktion?
3.	Wie lautet der Satz von Cauchy-Hadamard?
4.	Wie ist der Konvergenzradius einer Potenzreihe definiert?
5.	Wie ist der Konvergenzbereich einer Potenzreihe definiert?
6.	Wie lautet der Cauchysche Produktsatz für absolut konvergente Potenzreihen?
7.	Wie lautet die Funktionalgleichung der komplexwertigen Exponentialfunktion?

Kapitel 5: Stetige Funktionen

5.1 Der Begriff der Stetigkeit

1.	Wann heißt eine Funktion \( f\colon D\to\mathbb R \) in einem Punkt \( x_0\in D \) stetig?
2.	Wann heißt eine Funktion \( f\colon D\to\mathbb R \) in \( D \) stetig?
3.	Wann heißt eine Funktion \( f\colon D\to\mathbb R \) in \( D \) gleichmäßig stetig?
4.	Was versteht man unter einem Häufungspunkt einer Menge \( \Omega\subseteq\mathbb R? \)
5.	Was versteht man unter einem isolierten Punkt einer Menge \( \Omega\subseteq\mathbb R? \)
6.	Wie kann man einen Häufungspunkt einer Menge als einen Grenzwert charakterisieren?
7.	Wann heißt eine Funktion \( f\colon D\to\mathbb R \) in einem Punkt \( x_0\in D \) folgenstetig?
8.	Welcher Zusammenhang besteht zwischen Stetigkeit und Folgenstetigkeit einer Funktion \( f\colon D\to\mathbb R? \)

5.2 Der Raum der stetigen Funktionen

1.	Welche Kompositionen stetiger Funktionen sind wieder stetige Funktionen?
2.	Wie ist die Menge \( C^0(D,\mathbb R) \) definiert?
3.	Handelt es sich bei der Menge \( C^0(D,\mathbb R) \) um einen Vektorraum?
4.	Was versteht man unter einem inneren Punkt einer Menge \( \Omega\subseteq\mathbb R? \)
5.	Wann heißt eine Menge \( \Omega\subseteq\mathbb R \) offen?
6.	Wann heißt eine Menge \( \Omega\subseteq\mathbb R \) abgeschlossen?
7.	Was verstehen wir in der Analysis unter einer kompakten Menge?
8.	Welchen Satz über die Stetigkeit der Umkehrfunktion haben wir kennengelernt?
9.	Erläutern Sie den Satz über die Stetigkeit der Umkehrfunktion am Beispiel der \( k \)-ten Potenzfunktion und ihrer Inversen, der \( k \)-ten Wurzelfunktion.

5.3 Sätze über stetige Funktionen

1.	Wie lautet der Fundamentalsatz von Weierstraß?
2.	Wie lautet der Zwischenwertsatz von Bolzano-Weierstraß?
3.	Wie lautet der Satz über die gleichmäßige Stetigkeit?

5.4 Funktionenfolgen

1.	Was versteht man unter einer Funktionenfolge?
2.	Wann heißt eine Funktionenfolge punktweise konvergent?
3.	Wann heißt eine Funktionenfolge gleichmäßig konvergent?
4.	Welcher Zusammenhang besteht zwischen punktweiser und gleichmäßiger Konvergenz einer Funktionenfolgen?
5.	Diskutieren Sie diesen Zusammenhang am Beispiel der Funktionenfolge \( f_k(x):=x, \) \( x\in[0,1]. \)
6.	Wie lautet das Cauchykriterium zur gleichmäßigen Konvergenz einer Funktionenfolge?
7.	Ist die Grenzfunktion einer gleichmäßig konvergente Folge stetiger Funktionen wieder stetig?

5.5 Funktionenreihen

1.	Was versteht man unter einer Funktionenreihe?
2.	Wie lautet die reelle Exponentialreihe?
3.	Wie lauten die Reihen für den reellen Sinus und den reellen Kosinus?
4.	Wann heißt eine Funktionenreihe gleichmäßig konvergent?
5.	Wie lautet der Weierstraßsche Majorantentest?
6.	Wie können wir den Weierstraßschen Majorantentest zum Stetigkeitsnachweis der Grenzfunktion einer Funktionenreihe benutzen?
7.	Ist die reelle Exponentialreihe auf \( \mathbb R \) absolut konvergent und stetig?
8.	Sind die Reihen für den reellen Sinus und den reellen Kosinus auf \( \mathbb R \) absolut konvergent und stetig?

Kapitel 6: Differenzierbare Funktionen

6.1 Der Raum der differenzierbaren Funktionen

1.	Wann heißt eine Funktion \( f\colon D\to\mathbb R \) in einem Punkt \( x_0\in D \) differenzierbar?
2.	Wann heißt eine Funktion \( f\colon D\to\mathbb R \) in \( D \) differenzierbar?
3.	Welche Charakterisierung differenzierbarer Funktionen haben wir kennengelernt?
4.	Sind differenzierbare Funktionen stetig?
5.	Sind stetige Funktionen differenzierbar?
6.	Welche arithmetischen Eigenschaften differenzierbarer Funktionen haben wir kennengelernt?
7.	Wie lautet der Satz von der Ableitung der Umkehrfunktion?
8.	Wie ist die Menge \( C^k(D,\mathbb R) \) definiert?
9.	Handelt es sich bei der Menge \( C^k(D,\mathbb R) \) um einen Vektorraum?

6.2 Die allgemeine Potenzfunktion

1.	Wie haben wir den natürlichen Logarithmus eingeführt?
2.	Wie ist die allgemeine Potenz \( x^\alpha \) für \( x\in(0,\infty) \) und \( \alpha\in\mathbb R \) definiert?
3.	Welche Rechenregeln für die allgemeine Potenz haben wir kennengelernt?
4.	Welche Ableitungen besitzen \( e^x \) und \( \ln x? \)
5.	Welche Ableitung besitzt \( x^\alpha? \)
6.	Was können Sie über die Ableitung einer reellen Potenzreihe aussagen?

6.3 Sätze über differenzierbare Funktionen

1.	Wie lautet der Satz von Rolle?
2.	Was versteht man unter einem lokalen (globalen) Minimum bzw. lokalen (globalen) Maximum?
3.	Was versteht man unter einem lokalen (globalen) Extremumngelernt?
4.	Welches notwendige Kriterium erster Ordnung für die Existenz eines lokalen Extremums haben wir kennengelernt?
5.	Wie lautet der allgemeine Mittelwertsatz der Differentialrechnung?
6.	Wie lautet der klassische Mittelwertsatz der Differentialrechnung?
7.	Wie lässt sich der klassische Mittelwertsatz aus dem allgemeinen Mittelwertsatz gewinnen?
8.	Welches hinreichende Kriterium zweiter Ordnung für die Existenz eines lokalen Extremums haben wir kennengelernt?

6.4 Die Taylorsche Formel

1.	Wie lautet die Taylorsche Formel?
2.	Was versteht man unter dem Taylorschen Polynom \( T_n(x,x_0)? \)
3.	Was versteht man unter dem Lagrangeschen Restglied \( R_{n+1}(x,x_0)? \)
4.	Wann lässt sich eine Funktion in eine Taylorreihe entwickeln?
5.	Geben Sie ein Beispiel einer Funktion, welche sich nicht in eine Taylorreihe entwickeln lässt.

6.5 Trigonometrische Funktionen

1.	Wie lautet die komplexwertige Kosinusfunktion?
2.	Wie lautet die komplexwertige Sinusfunktion?
3.	Was verstehen wir unter der Eulerschen Formel?
4.	Wie lassen sich Kosinus und Sinus als Funktionenreihen schreiben?
5.	Sind Kosinus und Sinus gerade bzw. ungerade Funktionen?
6.	Welche trigonometrischen Identitäten zwischen Sinus und Kosinus haben wir kennengelernt?
7.	Welche Ableitungen besitzen der reelle Kosinus und der reelle Sinus?
8.	Wie haben wir die Kreiszahl \( \pi \) eingeführt?
9.	Wie lauten die Phasenverschiebungsformeln für den reellen Kosinus und reellen Sinus?
10.	Welche Monotonien besitzen der reelle Kosinus und der reelle Sinus?
11.	Wie lautet die Polardarstellung einer komplexen Zahl?
12.	Welche Periode besitzt die komplexwertige Exponentialfunktion?
13.	Welche Perioden besiten der komplexwertige Kosinus und der komplexwertige Sinus?

Kapitel 7: Integrierbare Funktionen

7.1 Einführung des Riemannschen Integrals

1.	Was versteht man unter einer Intervallzerlegung \( {\mathfrak Z}? \)
2.	Was ist das Feinheitsmaß \( \\|\mathfrak Z\\| \) einer Intervallzerlegung?
3.	Wann heißt eine Zerlegungsfolge eine ausgezeichnete Zerlegungsfolge?
4.	Was ist ein Zwischenvektor?
5.	Wie ist die Riemannsche Zwischensumme definiert?
6.	Wann heißt eine Funktion \( f\colon[a,b]\to\mathbb R \) auf \( [a,b] \) Riemannintegrierbar?
7.	Welche zwei Kriterien zur Riemannintegrierbarkeit haben wir kennengelernt?
8.	Wie ist die Dirichletsche Sprungfunktion definiert?
9.	Ist die Dirichletsche Sprungfunktion Riemannintegrierbar?

7.2 Eigenschaften Riemannintegrierbarer Funktionen

1.	Sind Summe und Produkt Riemannintegrierbarer Funktionen Riemannintegrierbar?
2.	Was versteht man unter der Monotonie des Riemannschen Integrals?
3.	Sind Riemannintegrierbare Funktionen beschränkt?
4.	Sind Positiv- und Negativanteil Riemannintegrierbarer Funktionen Riemannintegrierbar?
5.	Ist der Betrag einer Riemannintegrierbaren Funktion Riemannintegrierbar?
6.	Wie lautet die Dreiecksungleichung für das Riemannintegral?

7.3 Das Riemann-Darboux-Integral

1.	Wie sind die Darbouxschen Unter- und Obersumme definiert?
2.	Wie sind das untere und das obere Riemann-Darboux-Integral definiert?
3.	Wann heißt eine Funktion Riemann-Darboux-integrierbar?
4.	Wie lautet der Fundamentalsatz der Riemann-Darbouxschen Integrationstheorie?

7.4 Zwei Klassen Riemannintegrierbarer Funktionen

1.	Welche zwei Funktionenklassen haben wir als Riemannintegrierbar erkannt?

7.5 Der Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung

1.	Wie lauten die beiden Aussagen dieses Fundamentalsatzes?
2.	Was versteht man unter einer Stammfunktion?
3.	Geben Sie dazu ein Beispiel.

7.6 Integrationsregeln

1.	Wie lautet die Regel der partiellen Integration?
2.	Wie lautet die Substitutionsregel?