Klausurvorbereitung
8. Das Riemannsche Integral
8.1 Einführung des Riemannschen Integrals
1. | Erläutern Sie den Begriff der Riemannschen Zwischensumme.(∗) |
2. | Lösen Sie Aufgabe 8.1.3. |
3. | Wann heißt eine Funktion Riemannintegrierbar?(∗) |
4. | Wie ist das Riemannsche Integral definiert?(∗) |
5. | Lösen Sie Aufgabe 8.1.4. |
6. | Wie lautet das Grenzwertkriterium zur Riemannintegrierbarkeit?(∗) |
7. | Lösen Sie Aufgabe 8.1.6. |
8. | Lösen Sie Aufgabe 8.1.9. |
9. | Wie lautet das Cauchykriterium zur Riemannintegrierbarkeit?(∗) |
10. | Lösen Sie Aufgabe 8.1.13. |
8.2 Eigenschaften Riemannintegrierbarer Funktionen
11. | Was versteht man unter der Linearität des Riemannschen Integrals?(∗) |
12. | Lösen Sie Aufgabe 8.2.1. |
13. | Was versteht man unter der Monotonie des Riemannschen Integrals?(∗) |
14. | Lösen Sie Aufgabe 8.2.3. |
15. | Lösen Sie Aufgabe 8.2.4. |
16. | Sind Riemannintegrierbare Funktionen beschränkt?(∗) |
17. | Lösen Sie Aufgabe 8.2.6. |
18. | Lösen Sie Aufgabe 8.2.8. |
19. | Lösen Sie Aufgabe 8.2.9. |
20. | Wie lautet die Dreiecksungleichung für das Riemannsche Integral?(∗) |
8.3 Das Riemann-Darbouxsche Integral
21. | Erläutern Sie die Begriffe untere und obere Riemann-Darboux-Summe.(∗) |
22. | Was versteht man unter dem unteren und dem oberen Riemann-Darboux-Integral?(∗) |
23. | Wann heißt eine Funktion Riemann-Darboux-integrierbar?(∗) |
24. | Welchen Zusammenhang gibt es zwischen Riemann- und Riemann-Darboux-Integrierbarkeit?(∗) |
25. | Lösen Sie Aufgabe 8.3.6. |
26. | Wie lautet das Darbouxsche Integrierbarkeitskriterium?(∗) |
27. | Lösen Sie Aufgabe 8.3.7. |
8.4 Zwei Klassen Riemannintegrierbarer Funktionen
28. | Welche Klassen Riemannintegrierbarer Funktionen haben wir hier diskutiert?(∗) |
29. | Lösen Sie Aufgabe 8.4.1. |
30. | Wie lautet der allgemeine Mittelwertsatz der Integralrechnung?(∗) |
31. | Lösen Sie Aufgabe 8.4.3. |
32. | Wie lautet der klassische Mittelwertsatz der Integralrechnung, und wie folgt er aus dem allgemeinen |
Mittelwertsatz der Integralrechnung?(∗) | |
33. | Lösen Sie Aufgabe 8.4.6. |
8.5 Der Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung
34. | Wie lautet der Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung?(∗) |
35. | Was versteht man unter einer Stammfunktion?(∗) |
36. | Wiederholen Sie die Ableitungsregel aus Aufgabe 8.5.3.(∗) |
37. | Lösen Sie Aufgabe 8.5.4. |
38. | Lösen Sie Aufgabe 8.5.6. |
39. | Lösen Sie Aufgabe 8.5.10. |
40. | Lösen Sie Aufgabe 8.5.11. |
41. | Lösen Sie Aufgabe 8.5.12. |
42. | Lösen Sie Aufgabe 8.5.13. |
43. | Lösen Sie Aufgabe 8.5.16. |
44. | Lösen Sie Aufgabe 8.5.17. |
8.6 Integrationsregeln
45. | Wie lautet die Regel der partiellen Integration?(∗) |
46. | Lösen Sie Aufgabe 8.6.1. |
47. | Lösen Sie Aufgabe 8.6.2. |
48. | Lösen Sie Aufgabe 8.6.3. |
49. | Lösen Sie Aufgabe 8.6.4. |
50. | Lösen Sie Aufgabe 8.6.5. |
51. | Lösen Sie Aufgabe 8.6.6. |
52. | Wie lautet die Substitutionsregel?(∗) |
53. | Lösen Sie Aufgabe 8.6.10. |
54. | Lösen Sie Aufgabe 8.6.12. |
8.7 Integration und Grenzwertbildung
55. | Wie lautet der Vertauschbarkeitssatz?(∗) |
56. | Lösen Sie Aufgabe 8.7.1. |
57. | Lösen Sie Aufgabe 8.7.2. |
58. | Lösen Sie Aufgabe 8.7.3. |
9. Metrik und Topologie
9.1 Metrische Räume
59. | Definieren Sie die Begriffe Metrik und metrischer Raum.(∗) |
60. | Wie lautet unser Standardbeispiel einer Metrik?(∗) |
61. | Was versteht man unter der diskreten Metrik?(∗) |
62. | Was versteht man unter der Euklidischen Metrik?(∗) |
63. | Was versteht man unter der Betragssummenmetrik?(∗) |
64. | Was versteht man unter der Maximumsmetrik?(∗) |
65. | Lösen Sie Aufgabe 9.1.1. |
66. | Lösen Sie Aufgabe 9.1.2. |
67. | Lösen Sie Aufgabe 9.1.3. |
68. | Lösen Sie Aufgabe 9.1.8. |
9.2 Normierte Räume
69. | Definieren Sie die Begriffe Norm und normierter Raum.(∗) |
70. | Was versteht man unter der Euklidischen Norm im Rn?(∗) |
71. | Was versteht man unter der p-Norm im Rn?(∗) |
72. | Was versteht man unter der Betragssummennorm?(∗) |
73. | Was versteht man unter der Supremumsnorm im Rn?(∗) |
74. | Wann heißen zwei Normen äquivalent?(∗) |
75. | Lösen Sie Aufgabe 9.2.1. |
76. | Lösen Sie Aufgabe 9.2.2. |
77. | Lösen Sie Aufgabe 9.2.3. |
78. | Lösen Sie Aufgabe 9.2.10. |
9.3 Offene Mengen
79. | Was versteht man unter einer offenen Umgebung?(∗) |
80. | Was versteht man unter einer offenen Menge?(∗) |
81. | Warum ist der Durchschnitt unendlich vieler offener Mengen nicht unbedingt wieder offen?(∗) |
82. | Was versteht man unter einem inneren Punkt?(∗) |
83. | Was versteht man unter dem Inneren einer Menge?(∗) |
84. | Lösen Sie Aufgabe 9.3.1. |
85. | Lösen Sie Aufgabe 9.3.3. |
86. | Lösen Sie Aufgabe 9.3.4. |
87. | Lösen Sie Aufgabe 9.3.11. |
88. | Lösen Sie Aufgabe 9.3.12. |
89. | Lösen Sie Aufgabe 9.3.13. |
9.4 Abgeschlossene Mengen
90. | Wann heißt eine Menge abgeschlossen?(∗) |
91. | Was versteht man unter einem Randpunkt?(∗) |
92. | Was versteht man unter dem Rand einer Menge?(∗) |
93. | Lösen Sie Aufgabe 9.4.2. |
94. | Lösen Sie Aufgabe 9.4.6. |
95. | Lösen Sie Aufgabe 9.4.7. |
96. | Lösen Sie Aufgabe 9.4.8. |
9.5 Topologische Räume
Keine Aufgaben.
10. Konvergenz in metrischen Räumen
10.1 Konvergente Folgen
97. | Wann heißt eine Folge konvergent gegen ein x∈X?(∗) |
98. | Beweisen Sie, dass der Grenzwert einer konvergenten Folge eindeutig ist.(∗) |
99. | Lösen Sie Aufgabe 10.1.1. |
100. | Lösen Sie Aufgabe 10.1.2. |
101. | Welche Charakterisierung der Abgeschlossenheit einer Menge haben wir kennengelernt.(∗) |
102. | Lösen Sie Aufgabe 10.1.3. |
10.2 Banachräume
103. | Wann heißt eine Folge eine Cauchyfolge?(∗) |
104. | Beweisen Sie, dass jede konvergente Folge eine Cauchyfolge ist.(∗) |
105. | Wann heißt ein metrischer Raum vollständig bzw. ein Banachraum?(∗) |
106. | Lösen Sie Aufgabe 10.2.3. |
107. | Studieren Sie das Beispiel in Paragraph 10.2.2.(∗) |
10.3 Stetige Abbildungen
108. | Wann heißt eine Abbilung zwischen zwei metrischen Räumen stetig?(∗) |
109. | Wie lautet das Folgenkriterium der Stetigkeit?(∗) |
110. | Wie lautet das topologische Stetigkeitskriterium?(∗) |
111. | Welche Rechenregeln für stetige Funktionen haben wir kennengelernt?(∗) |
112. | Lösen Sie Aufgabe 10.3.5. |
113. | Lösen Sie Aufgabe 10.3.6. |
114. | Lösen Sie Aufgabe 10.3.7. |
115. | Lösen Sie Aufgabe 10.3.8. |
11. Kompaktheit
11.1 Einführung Kompaktheit
116. | Wann heißt eine Teilmenge eines metrischen Raumes kompakt (überdeckungskompakt)?(∗) |
117. | Studieren Sie das erste und das zweite Beispiel in Paragraph 11.1.2.(∗) |
118. | Lösen Sie Aufgabe 11.1.1. |
119. | Lösen Sie Aufgabe 11.1.2. |
120. | Was besagt Aufgabe 11.1.3? |
11.2 Sätze über kompakte Mengen
121. | Was besagt der Satz von Heine-Borel - in metrischer und in klassischer Form?(∗) |
122. | Lösen Sie Aufgabe 11.2.4. |
123. | Lösen Sie Aufgabe 11.2.5. |
124. | Was besagt der Weierstraßsche Häufungsstellensatz.(∗) |
125. | Welche beiden Eigenschaften (Paragraphen 11.2.4 und 11.2.6) stetiger Abbildungen auf kompakten |
Mengen haben wir kennengelernt?(∗) | |
126. | Was besagt der Fundamentalsatz von Weierstraß?(∗) |
12. Kurven und Flächen
12.1 Kurven im Euklidischen Raum
127. | Was versteht man unter einer regulären Kurvenparametrisierung?(∗) |
128. | Wiederholen Sie die Beispiele aus den Paragraphen 12.1.1 und 12.1.2. |
129. | Lösen Sie Aufgabe 12.1.2. |
130. | Lösen Sie Aufgabe 12.1.3. |
131. | Lösen Sie Aufgabe 12.1.4. |
132. | Lösen Sie Aufgabe 12.1.5. |
133. | Lösen Sie Aufgabe 12.1.6. |
134. | Wie sind Tangential- und Einheitstangentialvektor definiert?(∗) |
135. | Wann liegt eine reguläre Kurvenparametrisierung in Bogenlänge vor?(∗) |
136. | Wie ist das Bogenlängenfunktional einer regulären Kurvenparametrisierung definiert?(∗) |
137. | Lösen Sie Aufgabe 12.1.13. |
138. | Lösen Sie Aufgabe 12.1.14. |
12.2 Flächen im Euklidischen Raum
139. | Wie ist die Funktionalmatrix definiert?(∗) |
140. | Was versteht man unter einer regulären Flächenparametrisierung?(∗) |
141. | Was sind Tangentialvektoren und Tangentialraum?(∗) |
142. | Deuten Sie die geometrische Regularitätsbedingung aus Paragraph 12.2.3 geometrisch.(∗) |
143. | Wiederholen Sie die Beispiele aus den Paragraphen 12.2.1 und 12.1.3. |
144. | Lösen Sie Aufgabe 12.2.2. |
145. | Lösen Sie Aufgabe 12.2.3. |
146. | Lösen Sie Aufgabe 12.2.4. |
147. | Lösen Sie Aufgabe 12.2.5. |
148. | Lösen Sie Aufgabe 12.2.6. |
13. Partielle und vollständige Differenzierbarkeit
13.1 Partielle Differenzierbarkeit
149. | Lösen Sie Aufgabe 13.1.1. |
150. | Wie lautet die Kettenregel?(∗) |
151. | Wie lautet der Mittelwertsatz?(∗) |
152. | Wie ist der Gradient einer Funktion definiert?(∗) |
153. | Lösen Sie Aufgabe 13.1.4. |
154. | Lösen Sie Aufgabe 13.1.5. |
155. | Was versteht man unter der Richtungsableitung?(∗) |
156. | Lösen Sie Aufgabe 13.1.6. |
157. | Lösen Sie Aufgabe 13.1.7. |
158. | Was versteht man unter einer Niveaufläche?.(∗) |
159. | Lösen Sie Aufgabe 13.1.9. |
160. | Erläutern Sie einen Zusammenhang zwischen Stetigkeit, partieller Differenzierbarkeit und stetig partieller Differenzierbarkeit.(∗) |
161. | Lösen Sie Aufgabe 13.1.11. |
162. | Lösen Sie Aufgabe 13.1.12. |
13.2 Vollständige Differenzierbarkeit
163. | Wann heißt eine Funktion in einem Punkt bzw. in Ω vollständig differenzierbar?(∗) |
164. | Welchen Zusammenhang zwischen Stetigkeit, partieller, stetig partieller und vollständiger Differenzierbarkeit gibt es?(∗) |
165. | Lösen Sie Aufgabe 13.2.3. |
166. | Lösen Sie Aufgabe 13.2.4. |
166. | Lösen Sie Aufgabe 13.2.5. |
13.3 Ableitungen höherer Ordnung
167. | Wiederholen Sie den Begriff der partiellen Ableitung höherer Ordnung.(∗) |
168. | Wie lautet der Satz von Schwarz?(∗) |
169. | Lösen Sie Aufgabe 13.3.1. |
170. | Lösen Sie Aufgabe 13.3.2. |
171. | Lösen Sie Aufgabe 13.3.5. |
172. | Lösen Sie Aufgabe 13.3.6. |
173. | Lösen Sie Aufgabe 13.3.7. |
174. | Wie haben wir vollständige Differenziale eingehführt?(∗) |
175. | Lösen Sie Aufgabe 13.3.11. |
14. Taylorsche Formel und Extremwertaufgaben
14.1 Notwendige und hinreichende Bedingungen für lokale Extrema
176. | Wie lautet die Taylorsche Formel in mehreren Veränderlichen?(∗) |
177. | Was versteht man unter einem Taylorpolynom, was unter einem Restglied?(∗) |
178. | Lösen Sie Aufgabe 14.1.2. |
179. | Lösen Sie Aufgabe 14.1.3. |
180. | Was versteht man unter einem lokalen Extremum (Minimum, Maximum)?(∗) |
181. | Lösen Sie Aufgabe 14.1.4. |
182. | Lösen Sie Aufgabe 14.1.5. |
183. | Wie lautet unsere notwendige Bedingung erster Ordnung?(∗) |
184. | Lösen Sie Aufgabe 14.1.6. |
185. | Lösen Sie Aufgabe 14.1.7. |
186. | Lösen Sie Aufgabe 14.1.8. |
187. | Wie lautet unsere notwendige Bedingung zweiter Ordnung?(∗) |
188. | Lösen Sie Aufgabe 14.1.10. |
189. | Wie sind Hessematrix und Hesseform definiert?(∗) |
190. | Lösen Sie Aufgabe 14.1.12. |
191. | Wie lautet unsere hinreichende Bedingung zweiter Ordnung?(∗) |
192. | Lösen Sie Aufgabe 14.1.14. |
193. | Lösen Sie Aufgabe 14.1.15. |
194. | Lösen Sie Aufgabe 14.1.16. |
14.2 Der Fundamentalsatz über inverse Abbildungen
195. | Wie lautet der Fundamentalsatz über inverse Abbildungen?(∗) |
196. | Lösen Sie Aufgabe 14.2.1. |
197. | Lösen Sie Aufgabe 14.2.2. |
198. | Lösen Sie Aufgabe 14.2.3. |
14.3 Der Satz über implizite Funktionen
199. | Wie lautet der Satz über implizite Funktionen?(∗) |
200. | Studieren Sie die Beispiele aus Paragraph 14.3.2. |
201. | Lösen Sie Aufgabe 14.3.1. |
202. | Lösen Sie Aufgabe 14.3.2. |
203. | Lösen Sie Aufgabe 14.3.3. |
14.4 Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen
204. | Erläutern Sie die Lagrange Methode.(∗) |
205. | Studieren Sie das Beispiel aus Paragraph 14.4.2. |
206. | Lösen Sie Aufgabe 14.4.1. |
207. | Lösen Sie Aufgabe 14.4.2. |
208. | Lösen Sie Aufgabe 14.4.3. |