Hausaufgabenblatt 1
Aufgabe HA 1
Es sei \( d(x,y) \) eine Metrik auf der nichtleeren Menge \( X. \) Beweisen Sie, dass dann \[ \widetilde d(x,y):=\sqrt{d(x,y)} \] ebenfalls eine Metrik auf \( X \) ist.
Aufgabe HA 2
Zeigen Sie, dass folgende Abbildungen keine Metriken auf \( \mathbb R \) sind.
| (i) | \( d_1(x,y):=|x-3y|,\quad x,y\in\mathbb R \) |
| (ii) | \( d_2(x,y):=|x|-|y|,\quad x,y\in\mathbb R \) |
Aufgabe HA 3
Es sei \( f\colon[a,b]\to[\alpha,\beta] \) eine bijektive Abbildungen zwischen den nichtleeren, kompakten Intervallen \( [a,b],[\alpha,\beta]\subset\mathbb R. \) Wir setzen \[ d(x,y):=|f(x)-f(y)|,\quad x,y\in\mathbb R. \] Beweisen Sie, dass dann \( ([a,b],d) \) ein metrischer Raum ist.
Aufgabe HA 4
Es sei \( (V,\|\cdot\|) \) ein normierter Raum. Beweisen Sie, dass dann \[ d(x,y):=\|x-y\|,\quad x,y\in V, \] eine Metrik auf \( V \) darstellt.
Aufgabe HA 5
Wir betrachten den \( \mathbb R^n \) mit der Abbildung \[ \|x\|_1:=\sum_{k=1}^n|x_k|,\quad x=(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb R^n\,. \] Beweisen Sie, dass \( (\mathbb R^n,\|\cdot\|_1) \) ein normierter Raum ist.