Präsenzblatt 1
Aufgabe PA 1
Wie wurden in der Vorlesung eine Metrik und ein metrischer Raum definiert?
Es sei \( X \) eine nichtleere Menge. Eine Funktion \[ d\colon X\times X\longrightarrow[0,\infty) \] heißt Metrik auf \( X, \) wenn für alle \( x,y,z\in X \) gelten:
| (M1) | \( d(x,y)\ge 0 \) |
| (M2) | \( d(x,y)=0 \) genau dann, wenn \( x=y \) |
| (M3) | \( d(x,y)=d(y,x) \) |
| (M4) | \( d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z) \) |
Das Paar \( (X,d) \) heißt dann ein metrischer Raum.
Aufgabe PA 2
Es sei \( d(x,y) \) eine Metrik auf der nichtleeren Menge \( X. \) Beweisen Sie, dass dann auch \[ \widetilde d(x,y):=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)} \] eine Metrik auf \( X \) ist.
Es sind zunächst (M1), (M2) und (M3) erfüllt (bitte selbst nachrechnen). Zum Nachweis der Dreiecksungleichung (M4) beachten wir \[ \begin{array}{l} 0\le a\le b \quad\Longrightarrow\quad a+ab\le b+ab \quad\Longrightarrow\quad a(1+b)\le b(1+a) \\[1ex] \phantom{0\le a\le b} \quad\Longrightarrow\quad \displaystyle \frac{a}{1+a}\le\frac{b}{1+b}\,. \end{array} \] Das wenden wir an auf \( a=d(x,z) \) und \( b=d(x,y)+d(y,z) \) und erhalten (beachte \( a\le b \)) \[ \begin{array}{lll} \widetilde d(x,z)\negthickspace & = & \negthickspace\displaystyle \frac{d(x,z)}{1+d(x,z)} \,\le\,\frac{d(x,y)+d(y,z)}{1+d(x,y)+d(y,z)} \\[1ex] & = & \negthickspace\displaystyle \frac{d(x,y)}{1+d(x,y)+d(y,z)}+\frac{d(y,z)}{1+d(x,y)+d(y,z)} \\[1ex] & \le & \negthickspace\displaystyle \frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}+\frac{d(y,z)}{1+d(y,z)} \\[1ex] & = & \negthickspace\displaystyle \widetilde d(x,y)+\widetilde d(y,z). \end{array} \] Also handelt es sich bei \( \widetilde d \) um eine Metrik.\( \qquad\Box \)
Aufgabe PA 3
Wie wurden in der Vorlesung eine Norm und ein normierter Raum definiert?
Es sei \( V \) ein reeller Vektorraum. Eine Funktion \[ \|\cdot\|\colon V\longrightarrow[0,\infty) \] heißt Norm auf \( X, \) wenn für alle \( x,y\in V \) und alle \( \lambda\in\mathbb R \) gelten:
| (N1) | \( \|x\|\ge 0 \) |
| (N2) | \( \|x\|=0 \) genau dann, wenn \( x=0 \) |
| (N3) | \( \|\lambda x\|=|\lambda|\cdot\|x\| \) |
| (N4) | \( \|x+y\|\le\|x\|+\|y\| \) |
Das Paar \( (V,\|\cdot\|) \) heißt dann ein normierter Raum.
Aufgabe PA 4
Wir betrachten den \( \mathbb R^n, \) ausgestattet mit dem Euklidischen Skalarprodukt \[ \langle x,y\rangle:=\sum_{k=1}^nx_ky_k\,,\quad x,y\in\mathbb R^n\,. \] Beweisen Sie, dass \( (\mathbb R^n,\|\cdot\|_2) \) mit der Setzung \[ \|x\|_2:=\sqrt{\langle x,x\rangle}\,,\quad x\in\mathbb R^n\,, \] ein normierter Raum ist.
| \( \circ \) | Zunächst ist |
\[ \|x\|_2=\sqrt{\sum_{i=1}^nx_i^2}\ge 0\quad\mbox{für alle}\ x\in\mathbb R^n\,, \]
| da jeder Summand rechts nicht negativ ist. Das ist (N1). | |
| \( \circ \) | Ist \( x=0, \) so ist \( x_i=0 \) für alle \( i=1,\ldots,n \) und daher \( \|x\|_2=0. \) Ist umgekehrt \( \|x\|_2=0, \) so folgt \( x_i^2=0 \) für alle \( i=1,\ldots,n \) und daher \( x=0. \) Das ist (N2). |
| \( \circ \) | Wir ermitteln |
\[ \|\lambda x\|_2 =\sqrt{\sum_{i=1}^n(\lambda x_i)^2} =\sqrt{\lambda^2\sum_{i=1}^nx_i^2} =|\lambda|\,\sqrt{\sum_{i=1}^nx_i^2} =|\lambda|\|x\|_2\,, \]
| und das ist (N3). | |
| \( \circ \) | Wir ermitteln |
\[ \begin{array}{lll} \|x+y\|_2^2\negthickspace & = & \negthickspace\displaystyle \sum_{i=1}^n(x_i+y_i)^2 \,=\,\sum_{i=1}^nx_i^2+2\sum_{i=1}^nx_iy_i+\sum_{i=1}^ny_i^2 \\[1ex] & = & \negthickspace\displaystyle \|x\|_2^2+\|y\|_2^2+2\langle x,y\rangle\,. \end{array} \]
| Nun erinnern wir an die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung aus der Analysis 1, hier in der Form |
\[ \langle x,y\rangle =\sum_{i=1}^nx_iy_i \le\left(\,\sum_{i=1}^nx_i^2\right)^\frac{1}{2}\left(\,\sum_{i=1}^ny_i^2\right)^\frac{1}{2} =\|x\|_2\|y\|_2\,. \]
| Damit schätzen wir wie folgt weiter ab |
\[ \begin{array}{lll} \|x+y\|_2^2\negthickspace & = & \negthickspace\displaystyle \|x\|_2^2+\|y\|_2^2+2\langle x,y\rangle \,\le\,\|x\|_2^2+\|y\|_2^2+2\|x\|_2\|y\|_2 \\[0.6ex] & = & \negthickspace\displaystyle (\|x\|_2+\|y\|_2)^2\,. \end{array} \]
| Radizieren liefert die Dreiecksungleichung (N4). |
Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)