Wiederholungsfragen
Teil III: Grundlagen der Topologie
Kapitel 8: Metrik, Norm und Topologie
8.1 Metrische Räume
| 1. | Was versteht man unter einer Metrik? |
| 2. | Wie lautet die Dreiecksungleichung für eine Metrik? |
| 3. | Was versteht man unter einem metrischen Raum? |
| 4. | Wie lautet unser Standardbeispiel \( (\mathbb R,|\cdot|)? \) |
| 5. | Was versteht man unter der diskreten Metrik? |
| 6. | Was versteht man unter der Euklidischen Metrik? |
| 7. | Was versteht man unter der Betragssummenmetrik? |
| 8. | Was versteht man unter der Maximumsmetrik? |
8.2 Normierte Räume
| 1. | Was versteht man unter einer Norm? |
| 2. | Was versteht man unter einem normierten Raum? |
| 3. | Wie ordnen sich normierte Räume den metrischen Räumen unter? |
| 4. | Wie lautet unser Standardbeispiel \( (\mathbb R,|\cdot|)? \) |
| 5. | Was versteht man unter der Euklidischen Norm? |
| 6. | Was versteht man unter der Supremumsnorm im \( \mathbb R^n? \) |
| 7. | Was versteht man unter der Betragssummennorm im \( \mathbb R^n? \) |
| 8. | Was versteht man unter der allgemeinen \( p \)-Norm im \( \mathbb R^n? \) |
| 9. | Wann heißen zwei Normen äquivalent? |
| 10. | Sind im \( \mathbb R^n \) alle Normen äquivalent? |
8.3 Offene Mengen
| 1. | Wie ist der metrische Ball \( B_\varepsilon(a) \) in einem metrischen Raum \( (X,d) \) definiert? |
| 2. | Was versteht man unter einer Umgebung \( U\subseteq X \) eines Punktes \( a\in X? \) |
| 3. | Wann heißt eine Teilmenge \( U\subseteq X \) offen in \( (X,d)? \) |
| 4. | Geben Sie einfache Beispiele offener Teilmengen. |
| 5. | Wie lautet das Hausdorffsche Trennungsaxiom? |
| 6. | Was wissen Sie über den Durchschnitt offener Mengen? |
| 7. | Was wissen Sie über die Vereinigung offener Mengen? |
| 8. | Was verstehen wir unter einem inneren Punkt? |
| 9. | Was verstehen wir unter dem Inneren einer Menge? |
| 10. | Welche Beispiele haben wir in diesem Zusammenhang diskutiert? |
8.4 Abgeschlossene Mengen
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| 2. | ... |
| 3. | ... |
Kapitel 9: Konvergenz in metrischen Räumen
9.1 Konvergente Folgen
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9.2 Banachräume
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9.3 Stetige Funktionen
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| 3. | ... |
Kapitel 10: Kompaktheit
10.1 Der Begriff der Kompaktheit
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| 3. | ... |
10.2 Sätze über kompakte Mengen
| 1. | ... |
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Teil IV: Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen
Kapitel 11: Kurven und Flächen
11.1 Kurven im Euklidischen Raum
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11.2 Flächen im Euklidischen Raum
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Kapitel 12: Partielle und vollständige Differentiation
12.1 Partielle Differenzierbarkeit
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12.2 Vollständige Differenzierbarkeit
| 1. | .. |
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12.3 Ableitungen höherer Ordnung
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Kapitel 13: Taylorformel und Extremwertaufgaben
13.1 Die Taylorsche Formel
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13.2 Notwendige und hinreichende Bedingungen
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13.3 Der Fundamentalsatz über inverse Abbildungen
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13.4 Der Satz über implizite Funktionen
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13.5 Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen
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Teil V: Gewöhnliche Differentialgleichungen
Kapitel 14: Elementare Lösungsmethoden
14.1 Erste Begriffe
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14.2 Beispiele aus Natur und Technik
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14.3 Elementare Lösungsmethoden I
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14.4 Elementare Lösungsmethoden II
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Kapitel 15: Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme
15.1 Lineare Gleichungen erster Ordnung
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15.2 Systeme von Differentialgleichungen
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15.3 Gleichungen höherer Ordnung
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Kapitel 16: Existenz und Eindeutigkeit
16.1 Operatoren und Funktionale
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16.2 Der Satz von Picard-Lindelöf
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16.3 Weiterführendes
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16.4 Das Gronwallsche Lemma
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