Klausurvorbereitung

 

Kapitel 14: Das Lebesguesche Maß

 

14.1 Das Maßproblem

 

1. Was versteht man unter der charakteristischen Funktion?
2. Wie könnte das eindimensionale Riemannintegral als Inhaltsfunktion dienen?
3. Formulieren Sie in eigenen Worten das Maßproblem.
4. Lösen Sie Aufgabe 3.

 

 

 

14.2 Der Jordaninhalt

 

5. Was versteht man unter dem inneren Jordaninhalt eine beschränkten Menge im \( \mathbb R^n? \)
6. Was versteht man unter dem inneren Jordaninhalt eine beschränkten Menge im \( \mathbb R^n? \)
7. Wann heißt eine beschränkte Menge Jordanmessbar?
8. Was versteht man unter dem Jordaninhalt einer Jordanmessbaren Menge?
9. Was wissen Sie über Jordanmessbarkeit und Jordaninhalt der leeren Menge?
10. Was wissen Sie über Jordanmessbarkeit und Jordaninhalt beschränkter Quader?
11. Was wissen Sie über Jordanmessbarkeit und Jordaninhalt isolierter Punkte?
12. Was versteht man unter Subadditivität des Jordaninhalts?
13. Lösen Sie Aufgabe 6.
14. Lösen Sie Aufgabe 7.
15. Lösen Sie Aufgabe 9.
16. Lösen Sie Aufgabe 11 und als direkt Anwendung Aufgabe 10.
17. Lösen Sie Aufgabe 13.

 

 

 

14.3 Das Lebesguemaß

 

18. Wie ist das \( n \)-dimensionale, äußere Lebesguemaß \( \ell_n^*(\Omega) \) definiert?
19. Schließen Sie \( \ell_n^*(Q)=|Q| \) für beschränkte Quader aus der Ungleichung \( \lambda_*(\Omega)\le\ell_n^*(\Omega)\le\lambda^*(\Omega) \) für beschränkte Mengen \( \Omega\subset\mathbb R^n \)
20. Was versteht man unter Subadditivität des Lebesguemaßes?
21. Was besagt Aufgabe 2?
22. Lösen Sie Aufgabe 4.
23. Lösen Sie Aufgabe 6.

 

 

 

14.4 Lebesguemessbare Mengen

 

24. Wann heißt eine Menge im \( \mathbb R^n \) nach Caratheodory Lebesguemessbar?
25. Studieren Sie Satz und Beweis aus Paragraph 14.4.3.
26. Was besagt der Satz aus Paragraph 14.4.4?
27. Lösen Sie Aufgabe 4?
28. Lösen Sie Aufgabe 6.
29. Lösen Sie Aufgabe 7.

 

 

 

14.5 Sigma-Algebren

 

30. Was versteht man unter einer \( \sigma \)-Algebra?
31. Was besagt der Satz aus Paragraph 14.5.2?
32. Was besagt der Satz aus Paragraph 14.5.3?
33. Was versteht man unter einer Borelmenge?
34. Was besagt der Satz aus Paragraph 14.5.4?
35. Studieren Sie das Beispiel sowie die drüberstehende Bemerkung aus Paragraph 14.5.4.
36. Lösen Sie Aufgabe 3.
37. Lösen Sie Aufgabe 4.
38. Lösen Sie Aufgabe 5.

 

 

 

14.6 Approximation Lebesguemessbarer Mengen

 

Keine Aufgaben.

 

 

Kapitel 15: Lebesguemessbare Funktionen

 

15.1 Einführung Lebesguemessbarer Funktionen

 

39. Wann heißt eine Funktion Lebesguemessbar?
40. Welche äquivalenten Bedingungen haben wir kennengelernt?
41. Was besagt der Satz aus Paragraph 15.1.2? Beweisen Sie Punkt (i).
42. Lösen Sie Aufgabe 3.
43. Lösen Sie Aufgabe 4.
44. Lösen Sie Aufgabe 5.
45. Lösen Sie Aufgabe 8.
46. Lösen Sie Aufgabe 9.

 

 

 

15.2 Approximation Lebesguemessbarer Funktionen

 

47. Was versteht man unter einer einfachen Funktion?
48. Was besagt der Approximationssatz aus Paragraph 15.2.2?
49. Lösen Sie Aufgabe 2.
50. Lösen Sie Aufgabe 3.
51. Lösen Sie Aufgabe 5.
52. Lösen Sie Aufgabe 6.

 

 

Kapitel 16: Das Lebesguesche Integral

 

16.1 Historische Einführung

 

53. Erläutern Sie in eigenen Worten Lebesgues Zugang aus Paragraph 16.1.1.
54. Erläutern Sie in eigenen Worten Youngs Zugang aus Paragraph 16.1.2.
55. Lösen Sie Aufgabe 2.
56. Lösen Sie Aufgabe 3.
57. Lösen Sie Aufgabe 5.
58. Lösen Sie Aufgabe 6.

 

 

 

16.2 Ein dritter Zugang zum Lebesgueintegral

 

59. Erläutern Sie in eigenen Worten unseren dritten Zugang aus Abschnitt 16.2.

 

 

 

16.3 Eigenschaften des Lebesgueintegrals

 

60. Wie lautet der Satz von der monotonen Konvergenz?
61. Was versteht man unter der Linearität des Lebesgueintegrals?
62. Was versteht man unter Nichtnegativität und Normiertheit des Lebesgueintegrals?
63. Wie lautet die Dreiecksungleichung für das Lebesgueintegral?
64. Lösen Sie Aufgabe 3.
65. Lösen Sie Aufgabe 4.

 

 

 

16.4 Die Tschebyschevsche Ungleichung und Folgerungen

 

66. Wie lautet die Tschebyschevsche Ungleichung?
67. Was besagt der Satz aus Paragraph 16.4.2?
68. Was besagt der erste Satz aus Paragraph 16.4.3?
69. Lösen Sie Aufgabe 2.
70. Lösen Sie Aufgabe 3.

 

 

Kapitel 17: Sätze über Lebesgueintegrierbare Funktionen

 

17.1 Konvergenzsätze

 

71. Wie lautet der Satz über majorisierte Konvergenz?
72. Wie lautet der Satz über beschränkte Konvergenz?
73. Wie gewinnt man den Satz über beschränkte Konvergenz aus dem Satz über majorisierte Konvergenz?
74. Lösen Sie Aufgabe 4.
75. Lösen Sie Aufgabe 7 (eventuell mit dem Satz über majorisierte Konvergenz).
76. Lösen Sie Aufgabe 8 (eventuell mit dem Satz über majorisierte Konvergenz).
77. Wie lautet Lebesgues Kriterium zur Riemannintegrierbarkeit?
78. Lösen Sie Aufgabe 10.

 

 

 

17.2 Die Sätze von Fubini und Cavalieri

 

79. Wie lautet der Satz von Fubini?
80. Wie lautet das Prinzip des Cavalieri?
81. Studieren Sie Paragraph 17.2.4.
82. Studieren Sie Paragraph 17.2.5.
83. Lösen Sie Aufgabe 5.
84. Lösen Sie Aufgabe 6.
85. Lösen Sie Aufgabe 7.
86. Lösen Sie Aufgabe 9.
87. Lösen Sie Aufgabe 10.

 

 

 

17.3 Die Transformationsformel

 

88. Wiederholen Sie die Formel zur Längenberechnung aus Paragraph 17.3.2.
89. Lösen Sie Aufgabe 1.
90. Lösen Sie Aufgabe 2.
91. Wiederholen Sie die Formel zur Flächenberechnung aus Paragraph 17.3.3.
92. Wie lautet die Transformationsformel?
93. Studieren Sie Paragraph 17.3.5.
94. Versuchen Sie, auch Aufgabe 5 zu lösen.
95. Lösen Sie Aufgabe 6.
96. Lösen Sie Aufgabe 8.
97. Lösen Sie Aufgabe 10.
98. Lösen Sie Aufgabe 11.

 

 

Kapitel 19: Potentialtheorie

 

19.1 Klassische Differentialoperatoren

 

99. Lösen Sie Aufgabe 1.
100. Wie ist die Divergenz einer Abbildung definiert?
101. Lösen Sie Aufgabe 2.
102. Wie ist der Gradient einer Funktion definiert?
103. Lösen Sie Aufgabe 5.
104. Wie ist die Rotation eines Vektorfeldes definiert?
105. Lösen Sie Aufgabe 7.
106. Wann heißt eine differenzierbare Abbildung Potential?
107. Wann heißt eine Abbildung ein Gradientenfeld?
108. Lösen Sie Aufgabe 10.
109. Wie ist der Laplaceoperator definiert?
110. Wann heißt eine Funktion harmonisch?
111. Lösen Sie Aufgabe 14.
112. Lösen Sie Aufgabe 15.

 

 

 

19.2 Potentiale und Gebietszusammenhang

 

113. Wann heißt eine nichtleere Menge zusammenhängend?
114. Wann heißt eine nichtleere Menge wegzusammenhängend?
115. Nennen Sie einen Zusammenhang zwischen Zusammenhang und Wegzusammenhang im \( \mathbb R^n. \)
116. Lösen Sie Aufgabe 4.
117. Was versteht man unter einem sternförmigen Gebiet?
118. Lösen Sie Aufgabe 6.
119. Beweisen Sie den ersten Satz aus Paragraph 19.2.3.
120. Was besagt der zweite Satz aus Paragraph 19.2.3?
121. Lösen Sie Aufgabe 8.
122. Lösen Sie Aufgabe 9.

 

 

 

19.3 Kurvenintegrale

 

123. Erläutern Sie die Begriffe reguläre Kurvenparametrisierung und reguläre Kurve.
124. Was versteht man unter einem Kurvenintegral?
125. Lösen Sie Aufgabe 4.
126. Lösen Sie auch Aufgabe 5.
127. Studieren Sie Paragraph 19.3.4.
128. Wann heißt eine Abbildung wegunabhängig?
129. Lösen Sie Aufgabe 11.
130. Lösen Sie Aufgabe 12.

 

 

 

19.4 Flächenintegrale

 

131. Erläutern Sie die Begriffe reguläre Flächenparametrisierung und reguläre Fläche.
132. Was versteht man unter einer Immersion?
133. Lösen Sie auch Aufgabe 4.
134. Was versteht man unter einer Einbettung?
135. Lösen Sie Aufgabe 6.
136. Lösen Sie Aufgabe 7.
137. Wie sind Tangentialvektoren und Normalenvektoren bzw. Einheitstangentialvektoren und Einheitsnormalenvektor definiert?
138. Was versteht man unter Tangentialraum und Normalenraum?
139. Lösen Sie Aufgabe 12.
140. Wie ist die erste Fundamentalform definiert?
141. Lösen Sie Aufgabe 15.
142. Lösen Sie Aufgabe 16.
143. Lösen Sie Aufgabe 17.
144. Lösen Sie Aufgabe 20.

 

 

Kapitel 20: Integralsätze

 

20.1 Der Gaußsche Integralsatz in der Ebene

 

145. Was versteht man unter einem Normalbereich bez. der \( y \)-Achse, einem Normalbereich bez. der \( x \)-Achse bzw. einem Normalbereich.
146. Erläutern Sie die Parametrisierung der Randkurve.
147. Wie lautet die Integralidentiät des Gaußschen Integralsatzes?
148. Wie lautet die Integralidentität des Gaußschen Divergenzsatzes?
149. Lösen Sie Aufgabe 7.
150. Lösen Sie Aufgabe 8.
151. Lösen Sie Aufgabe 9.
152. Lösen Sie Aufgabe 10.
153. Lösen Sie Aufgabe 11.

 

 

 

20.2 Der klassische Stokessche Satz

 

Keine Aufgaben.

 

 

Schriftliche Klausur

 

Das Lebesguesche Maß

 

14.2: Aufgaben 6, 9, 10, 11
14.3: Aufgaben 4, 6
14.4: Aufgaben 4, 6, 7
14.5: Aufgaben 4, 5

 

Lebesguemessbare Funktionen

 

15.1: Aufgaben 3, 4, 5, 8, 9
15.2: Aufgaben 2, 3, 6

 

Das Lebesguesche Integral

 

16.1: Aufgaben 2, 3, 5, 6
16.3: Aufgaben 3, 4
16.4: Aufgabe 2

 

Sätze über Lebesgueintegrierbare Funktionen

 

17.1: Aufgaben 4, 7, 8, 10
  (benutze eventuell Satz über majorisierte Konvergenz; beachte Korrektur in Aufgabe 8, siehe dazu Musterlösung)
17.2: Aufgaben 5, 6, 7, 9, 10
17.3: Aufgaben 1, 2, 6, 8, 11

 

Sätze über Lebesgueintegrierbare Funktionen

 

19.1: Aufgaben 2, 3, 5, 7, 10, 14, 15
19.2: Aufgaben 4, 6, 8, 9, 10
19.3: Aufgaben 4, 5, 11, 12
19.4: Aufgaben 4, 6, 7, 10, 12, 15, 16, 17

 

Integralsäatze

 

20.1: Aufgaben 7, 8, 9