| 14. Das Lebesguesche Maß | 16. Das Lebesguesche Integral | 17. Sätze überLebesgueintegrierbare Funktionen |
| 18. Das Hausdorffsche Maß | 19. Potentialtheorie | 20. Integralsätze |
15. Lebesguemessbare Funktionen
Unter expliziter Zurückführung auf die bekannte Lebesguemessbarkeit von Mengen führen wir nun den Begriff der Lebesguemessbaren Funktionen ein.
Definition: Es sei \( \Omega\subseteq\mathbb R^n \) eine Lebesguemessbare Menge. Die Funktion \( f\colon\Omega\to\mathbb R\cup\{\pm\infty\} \) heißt Lebesguemessbar, falls für jede Wahl von \( c\in\mathbb R \) folgende Menge Lebesguemessbar ist \[ \{x\in\Omega\,:\,f(x)\gt c\}\,. \]
Die Bedingung \( f(x)\gt 0 \) in dieser Definition kann äquivalent ersetzt werden durch eine der folgenden Bedingungen:
Satz: Es sei \( \Omega\subseteq\mathbb R^n \) eine Lebesguemessbare Menge. Die Funktion \( f\colon\Omega\to\mathbb R\cup\{\pm\infty\} \) ist Lebesguemessbar genau dann, wenn
| \( \circ \) | \( \{x\in\Omega\,:\,f(x)\ge c\} \) Lebesguemessbar ist für alle \( c\in\mathbb R, \) oder |
| \( \circ \) | \( \{x\in\Omega\,:\,f(x)\lt c\} \) Lebesguemessbar ist für alle \( c\in\mathbb R, \) oder |
| \( \circ \) | \( \{x\in\Omega\,:\,f(x)\le c\} \) Lebesguemessbar ist für alle \( c\in\mathbb R. \) |
Es sei \( f(x) \) Lebesguemessbar. Betrachte die folgenden Mengen \[ \begin{array}{lll} \Omega_1\negthickspace & := & \negthickspace\displaystyle \{x\in\Omega\,:\,f(x)\ge c\} \,=\,\bigcap_{k=1}^\infty\left\{x\in\Omega\,:\,f(x)\gt c-\frac{1}{k}\right\}, \\ \Omega_2\negthickspace & := & \negthickspace\displaystyle \{x\in\Omega\,:\,f(x)\lt c\} \,=\,\Omega\setminus\{x\in\Omega\,:\,f(x)\ge c\}, \\ \Omega_3\negthickspace & := & \negthickspace\displaystyle \{x\in\Omega\,:\,f(x)\le c\} \,=\,\bigcap_{k=1}^\infty\left\{x\in\Omega\,:\,f(x)\lt c+\frac{1}{k}\right\}, \\ \Omega_4\negthickspace & := & \negthickspace\displaystyle \{x\in\Omega\,:\,f(x)\gt c\} \,=\,\Omega\setminus\left\{x\in\Omega\,:\,f(x)\le c\right\}. \end{array} \] Wir argumentieren nun wie folgt:
| \( \circ \) | die Lebesguemessbarkeit von \( f(x) \) impliziert die Lebesguemessbarkeit von \( \Omega_1 \) als Durchschnitt abzählbar vieler, Lebesguemessbarer Mengen; |
| \( \circ \) | die Lebesguemessbarkeit von \( \Omega_1 \) impliziert die Lebesguemessbarkeit von \( \Omega_2 \) als Differenz zweier Lebesguemessbarer Mengen; |
| \( \circ \) | die Lebesguemessbarkeit von \( \Omega_2 \) impliziert die Lebesguemessbarkeit von \( \Omega_3 \) als Durchschnitt abzählbar vieler Lebesguemessbarer Mengen; |
| \( \circ \) | die Lebesguemessbarkeit von \( \Omega_3 \) impliziert die Lebesguemessbarkeit von \( \Omega_4 \) als Differenz zweier Lebesguemessbarer Mengen. |
Damit ist der Satz bewiesen.\( \qquad\Box \)
15.1.2 Erste Beispiele Lebesguemessbarer Funktionen
Der folgende Satz macht u.a. eine Aussage über Riemannintegrierbare Funktionen in mehreren Veränderlichen. Da wir aber die Konstruktion des Riemannintegrals in \( \mathbb R^n \) nicht kennengelernt haben, werden wir auf einen Beweis dieser Aussage verzichten und verweisen auf die Literatur.
Satz: Folgende Funktionen sind Lebesguemessbar:
| (i) | stetige Funktionen auf Lebesguemessbaren Mengen, |
| (ii) | Riemannintegrierbare Funktionen auf Jordanmessbaren Mengen. |
Mit einem beliebigen \( c\in\mathbb R \) betrachten wir die offene Menge \[ \Theta:=(c,+\infty)\subset\mathbb R. \] Da \( f \) stetig ist, ist das Urbild \( f^{-1}(\Theta) \) ebenfalls offen und demnach nach dem Satz aus Paragraph 14.5.3 Lebesguemessbar. Das zeigt die Behauptung.\( \qquad\Box \)
15.1.3 Rechnen im erweiterten Zahlenraum
Lebesguemessbare Funktionen nehmen auch Werte in dem aus der Analysis 1 bekannten erweiterten Zahlenraum an \[ \overline{\mathbb R}=\mathbb R\cup\{\pm\infty\}\,. \] Wir müssen also Regeln für das Rechnen in \( \overline{\mathbb R} \) vereinbaren. Und zwar sollen für alle \( x\in\mathbb R \) richtig sein:
| (i) | \( -\infty\lt x\lt\infty \) |
| (ii) | \( \infty+x=x+\infty=\infty \) und \( \infty+\infty=\infty \) |
| (iii) | ist \( a\gt 0 \) oder \( a=\infty, \) so sind \( \infty\cdot a=a\cdot\infty=\infty \) und \( (-\infty)\cdot a=a\cdot(-\infty)=-\infty \) |
| (iv) | ist \( a\lt 0 \) oder \( a=-\infty, \) so sind \( \infty\cdot a=a\cdot\infty=-\infty \) und \( (-\infty)\cdot a=a\cdot(-\infty)=\infty \) |
| (iv) | \( \infty\cdot 0=0\cdot\infty=0 \) und \( (-\infty)\cdot 0=0\cdot(-\infty)=0 \) |
Nicht definiert werden \( \infty+(-\infty) \) und \( (-\infty)+\infty. \)
15.1.4 Eigenschaften Lebesguemessbarer Funktionen
Lebesguemessbare Funktionen nehmen auch Werte in dem aus der Analysis 1 bekannten erweiterten Zahlenraum an \[ \overline{\mathbb R}=\mathbb R\cup\{\pm\infty\}\,. \] Wir müssen also Regeln für das Rechnen in \( \overline{\mathbb R} \) vereinbaren. Und zwar sollen für alle \( x\in\mathbb R \) richtig sein:
Satz: Es sei \( \Omega\subseteq\mathbb R^n \) eine Lebesguemessbare Menge. Sind dann \( f,g\colon\Omega\to\overline{\mathbb R} \) Lebesguemessbar, so dass \( f+g \) für alle \( x\in\Omega \) definiert ist, dann sind ebenfalls Lebesguemessbar:
| (i) | der Betrag \( |f(x)| \) sowie die Abschneidefunktionen |
\[ f(x)^+:=\max\{f(x),0\},\quad f(x)^-:=\max\{-f(x),0\}\,; \]
| (ii) | das punktweise Maximum und das punktweise Minimum |
\[ f(x)\vee g(x):=\max\{f(x),g(x)\}\,,\quad f(x)\wedge g(x):=\min\{f(x),g(x)\}\,; \]
| (iii) | die Summe und das Produkt mit einem reellen Skalar |
\[ f(x)+\alpha,\quad \alpha\cdot f(x) \quad\mbox{mit}\ \alpha\in\mathbb R; \]
| (iv) | punktweise Summe und punktweises Produkt |
\[ f(x)+g(x),\quad f(x)\cdot g(x); \] Sind \( f^{(1)},f^{(2)},\ldots\colon\Omega\to\overline{\mathbb R} \) Lebesguemessbar, so auch
| (v) | das punktweise Supremum und der punkweise obere Grenzwert |
\[ \displaystyle\sup_{k=1,2,\ldots}f^{(k)}(x),\quad \displaystyle\limsup_{k\to\infty}f^{(k)}(x); \]
| (vi) | das punktweise Infimum und der punktweise untere Grenzwert |
\[ \displaystyle\inf_{k=1,2,\ldots}f^{(k)}(x),\quad \displaystyle\liminf_{k\to\infty}f^{(k)}(x). \] Sind schließlich \( f,g\colon\Omega\to\mathbb R \) Lebesguemessbar und \( F\colon\mathbb R^2\to\mathbb R \) stetig, so ist auch Lebesguemessbar
| (vii) | die Komposition \( F(f,g). \) |
| (i) | Für beliebiges \( c\in\mathbb R \) ermitteln wir |
\[ \{x\in\Omega\,:\,|f(x)|\lt c\} =\{x\in\Omega\,:\,f(x)\lt c\}\cap\{x\in\Omega\,:\,f(x)\gt -c\}\,. \]
| Beide Mengen rechts sind Lebesguemessbar, da \( f \) Lebesguemessbar ist. Also ist \( |f| \) Lebesguemessbar. Die Lebesguemessbarkeit von \( f^+ \) und \( f^- \) folgen aus (ii). | |
| (ii) | Hierzu beachten wir |
\[ \{x\in\Omega\,:\,(f\wedge g)(x)\gt c\} =\{x\in\Omega\,:\,f(x)\gt c\}\cap\{x\in\Omega\,:\,g(x)\gt c\} \]
| sowie |
\[ \{x\in\Omega\,:\,(f\vee g)(x)\gt c\} =\{x\in\Omega\,:\,f(x)\gt c\}\cup\{x\in\Omega\,:\,g(x)\gt c\}\,. \]
| Auch hier sind die rechten Seiten jeweils Lebesguemessbar, was die Lebesguemessbarkeit von \( f\wedge g \) und \( f\vee g \) impliziert. |
Damit schließen wir unseren Beweis ab.\( \qquad\Box \)
Bemerkung: Existiert der punktweise Grenzwert (auch nur fast überall, d.h. bis auf eine Lebesguesche Nullmenge - siehe später) einer Folge Lebesguemessbarer Funktionen \[ f^{(k)}\colon\Omega\longrightarrow\overline{\mathbb R}\,,\quad k=1,2,\ldots, \] so ist nach den Aussagen (v) und (vi) des vorigen Satzes diese Grenzfunktion Lebesguemessbar.
Beispiel: Es sei \( q_1,q_2,\ldots \) eine Abzählung von \( \mathbb Q\cap[0,1]. \) Wir setzen \[ f^{(k)}(x) :=\left\{ \begin{array}{ll} 1, & \mbox{falls}\ x\in\{q_1,q_2,\ldots,q_k\} \\ 0, & \mbox{sonst} \end{array} \right.. \] Jede Funktion \( f^{(k)}(x) \) ist Lebesguemessbar, also auch der punktweise Grenzwert \[ \chi_D(x):=\lim_{k\to\infty}f^{(k)}(x),\quad x\in[0,1], \] die uns bekannte Dirichletsche Sprungfunktion. Außerdem ist jede Funktion \( f^{(k)}(x) \) Riemannintegrierbar mit dem gewöhnlichen Riemannintegral \[ \int\limits_0^1f^{(k)}(x)\,dx=0,\quad k=1,2,\ldots \] Aber die Dirichletsche Sprungfunktion ist nicht Riemannintegrierbar. Mit dem Lebesgueintegral wird es uns aber gelingen, dieses Problem aufzulösen.
15.1.5 Aufgaben und Wiederholungsfragen
| 1. | Wann heißt eine Funktion \( f\colon\Omega\to\overline{\mathbb R} \) Lebesguemessbar? |
| 2. | Welche äquivalenten Bedingungen können in dieser Definition verwendet werden? |
| 3. | Beweisen Sie anhand der Definition aus Paragraph 15.1.1, dass die folgende Funktion Lebesguemessbar ist |
\[ f\colon[0,2]\longrightarrow\mathbb R \quad\mbox{vermöge}\quad f(x) :=\left\{ \begin{array}{cl} 0, & x\in[0,1] \\ 1, & x\in(1,2] \end{array} \right.. \]
| 4. | Beweisen Sie anhand der Definition aus Paragraph 15.1.1, dass die Dirichletsche Sprungfunktion Lebesguemessbar ist. |
| 5. | Skizzieren Sie die Funktion |
\[ f\colon[-1,2]\longrightarrow\mathbb R \quad\mbox{vermöge}\quad f(x) :=\left\{ \begin{array}{cl} x^2\,, & \mbox{falls}\ x\in[-1,1) \\ 2, & \mbox{falls}\ x=1 \\ 2-x, & \mbox{falls}\ x\in(1,2] \end{array} \right., \]
| und beweisen Sie deren Lebesguemessbarkeit anhand der Definition aus Paragraph 15.1.1. | |
| 6. | Welche beiden Beispielklassen Lebesguemessbarer Funktionen kennen Sie? |
| 7. | Beweisen Sie, dass stetige Funktionen auf Lebesguemessbaren Mengen Lebesguemessbar sind. |
| 8. | Skizzieren Sie die Funktion |
\[ f\colon[0,1]\longrightarrow\mathbb R \quad\mbox{vermöge}\quad f(x)=1, \]
| und beweisen Sie Ihre Lebesguemessbarkeit unter Benutzung eines Satzes aus der Vorlesung. | |
| 9. | Skizzieren Sie die Funktion |
\[ f\colon[-1,2]\longrightarrow\mathbb R \quad\mbox{vermöge}\quad f(x) :=\left\{ \begin{array}{cl} x^2\,, & \mbox{falls}\ x\in[-1,1) \\ 1, & \mbox{falls}\ x=1 \\ 2-x, & \mbox{falls}\ x\in(1,2] \end{array} \right., \]
| und beweisen Sie Ihre Lebesguemessbarkeit unter Benutzung eines Satzes aus der Vorlesung. | |
| 10. | Es sei \( \Omega\subseteq\mathbb R^n \) Lebesguemessbar. Ferner seien zwei Funktionen \( f,g\colon\Omega\to\overline{\mathbb R} \) gegeben, wobei \( f \) Lebesguemessbar ist und \( f=g \) fast überall in \( \Omega \) gilt, d.h. |
\[ f(x)=g(x)\quad\mbox{für alle}\ x\in\Omega\setminus N \]
| mit einer Lebesgueschen Nullmenge \( N\subset\Omega. \) Zeigen Sie, dass dann auch \( g \) Lebesguemessbar ist. | |
| 11. | Welche Rechenregeln im erweiterten Zahlenraum \( \overline{\mathbb R} \) kennen Sie? |
| 12. | Nennen Sie wichtige Eigenschaften Lebesguemessbarer Funktionen. |
| 13. | Was können Sie über die Lebesguemessbarkeit des punktweisen Grenzwerts Lebesguemessbarer Funktionen aussagen? |
| 14. | Schreiben Sie das Beispiel aus Paragraph 15.1.4 noch einmal selbst auf. |
Rechenaufgaben: 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 14
Nach W.H. Young lassen sich Lebesguemessbare Funktionen durch sogenannte einfache Funktionen approximieren. Darunter verstehen wir folgendes:
Definition: Es sei \( \Omega\subseteq\mathbb R^n \) eine Lebesguemessbare Menge. Weiter sei \( \Omega \) durch endlich viele, paarweise disjunkte und Lebesguemessbare Mengen \( \Omega_k \) wie folgt ausgeschöpft \[ \Omega=\bigcup_{k=1}^m\Omega_k\,,\quad m\in\mathbb N. \] Unter einer einfachen Funktion verstehen wir dann einen Ausdruck der Form \[ \varphi(x)=\sum_{k=1}^mc_k\chi_{\Omega_k}(x) \quad\mbox{mit}\ c_k\in\mathbb R \] und der charakteristischen Funktion \( \chi_{\Omega_k}(x) \) auf \( \Omega_k. \)
Einfache Funktionen nehmen also nur endlich viele Werte an. Ferner sind einfache Funktionen Lebesguemessbar, da wir in unserer Definition Lebesguemessbarkeit aller \( \Omega_k \) gefordert haben. Zur Definition einfacher Funktionen wäre diese Forderung aber nicht notwendig, müsste dann aber in unseren späteren Untersuchungen stets gesondert gestellt werden.
Satz: Es sei \( f\colon\Omega\to\overline{\mathbb R} \) eine Lebesguemessbare Funktion auf der Lebesguemessbaren Menge \( \Omega\subseteq\mathbb R. \) Dann existiert eine Folge \( \{\varphi^{(k)}\}_{k=1,2,\ldots} \) einfacher Funktionen auf \( \Omega \) mit der Eigenschaft \[ \lim_{k\to\infty}\varphi^{(k)}(x)=f(x)\quad\mbox{für alle}\ x\in\Omega, \] d.h. die Folge konvergiert punktweise in \( \Omega \) gegen \( f(x). \) Ist darüberhinaus \( f(x) \) beschränkt auf \( \Omega, \) so existiert eine solche Folge, die gleichmäßig gegen \( f(x) \) konvergiert. Und ist \( f(x) \) nichtnegativ, so kann die approximierende Folge punktweise konvergent und monoton wachsend gewählt werden.
Wir geben nur eine sehr grobe Beweisidee.
| 1. | Wir nehmen an \( f\colon\Omega\to\mathbb R \) und \( f(x)\ge 0 \) in \( \Omega. \) Betrachte andernfalls die Zerlegung |
\[ f(x)=\frac{|f(x)|+f(x)}{2}-\frac{|f(x)|-f(x)}{2} \]
| von \( f(x) \) in zwei nichtnegative, Lebesguemessbare Anteile. | |
| 2. | Zerlege den Bildraum \( [0,\infty) \) von \( f(x) \) in halboffene Intervalle |
\[ [0,\infty)=[0,1)\cup[1,2)\cup\ldots\cup[n-1,n)\cup[n,\infty) \]
| und betrachte hierauf eine verfeinerte Zerlegung in |
\[ 2^n+2^n+\ldots+2^n+1=n\cdot 2^n+1 \]
| disjunkte Teilintervalle. | |
| 3. | Setze nun |
\[ \varphi^{(n)}(x):=\sum_{k=1}^{n\cdot 2^n}\frac{k-1}{2^n}\,\chi_{\Omega_{n,k}}(x)+n\chi_{\Theta_n}(x) \]
| mit den Lebesguemessbaren Teilmengen |
\[ \begin{array}{l} \displaystyle \Omega_{n,k}:=\left\{x\in\Omega\,:\,\frac{k-1}{2^n}\le f(x)\lt\frac{k}{2^n}\right\}\quad\mbox{und} \\ \Theta_n:=\{x\in\Omega\,:\,f(x)\ge n\}\,. \end{array} \]
| Alle Funktionen \( \varphi^{(n)} \) sind Lebesguemessbar. | |
| 4. | Nun überlege man sich |
\[ |f(x)-\varphi^{(n)}(x)|\le\frac{1}{2^n}\quad\mbox{für alle}\ x\in\Omega\setminus\Theta_n\,. \] Daraus folgt die behauptete Approximationseigenschaft.\( \qquad\Box \)
15.2.3 Aufgaben und Wiederholungsfragen
| 1. | Was versteht man unter einer einfachen Funktion? |
| 2. | Geben Sie zwei Beispiele einfacher Funktionen \( \varphi,\psi\colon[0,1]\to\mathbb R \) an. |
| 3. | Begründen Sie, dass die Dirichletsche Sprungfunktion eine einfache Funktion ist. |
| 4. | Wie lautet der Approximationssatz aus Paragraph 15.2.2? |
| 5. | Stellen Sie die Funktion |
\[ f\colon[0,1]\longrightarrow\mathbb R,\quad f(x)=1, \]
| als punktweisen Grenzwert einer monoton wachsenden Folge einfacher Funktionen dar. Ist die Konvergenz sogar gleichmäßig? | |
| 6. | Stellen Sie die Dirichletsche Sprungfunktion als punktweisen Grenzwert einer monoton wachsenden Folge einfacher Funktionen dar. Ist die Konvergenz sogar gleichmäßig? |
| 7. | Führen Sie Punkt 4 des Beweises aus Paragraph 15.2.2 aus. |
Rechenaufgaben: 2, 3, 5, 6, 7