Abschnitt 1.2: Der Jordaninhalt
Aufgabe 1
Es sei \( \Omega\subset\mathbb R^2 \) beschränkt und abzählbar endlich oder abzählbar unendlich. Beweisen Sie, dass \( \Omega \) entweder nicht Jordanmessbar ist, oder dass \( \Omega \) eine Jordansche Nullmenge darstellt.
→ Lösung
Aufgabe 2
Es sei \( \{x_n\}_{n=1,2,3,\ldots}\subset\mathbb R \) eine gegen ein \( x\in\mathbb R \) konvergente Folge. Beweisen Sie, dass dann \[ \Omega:=\{x_1\}\cup\{x_2\}\cup\{x_3\}\cup\ldots \] eine Jordansche Nullmenge darstellt und damit Jordanmessbar ist.
→ Lösung
Aufgabe 3
Auf dem kompakten Intervall \( [a,b]\subset\mathbb R \) sei die Lipschitzstetige Funktion \( f\colon[a,b]\to\mathbb R \) gegeben, d.h. mit einer Konstante \( L\ge 0 \) gelte \[ |f(x)-f(y)|\le L|x-y|\quad\mbox{für alle}\ x,y\in[a,b]. \] Sei ferner \( N\subset[a,b] \) eine Jordansche Nullmenge. Beweisen Sie, dass dann auch \( f(N)\subset\mathbb R \) eine Jordansche Nullmenge darstellt.
→ Lösung
Ist \( \Omega\subset\mathbb R^n \) beschränkt, so wissen wir aus der Vorlesung \[ \lambda_*(\Omega)=\lambda_*(\mathring\Omega),\quad \lambda^*(\Omega)=\lambda^*(\overline{\Omega}) \] mit dem Inneren \( \mathring\Omega \) der Menge \( \Omega \) und deren topologischem Abschluss \( \overline\Omega. \)
Aufgabe 4
Die beschränkte Menge \( \Omega\subset\mathbb R^n \) sei Jordanmessbar. Beweisen Sie, dass dann \( \mathring\Omega \) und \( \overline{\Omega} \) Jordanmessbar sind, und dass gilt \[ \lambda(\mathring\Omega)=\lambda(\overline{\Omega})=\lambda(\Omega). \]
→ Lösung