Abschnitt 1.4: Lebesguemessbare Mengen

Aufgabe 1

Es seien \( \Omega\subseteq\mathbb R^n \) eine beliebige Menge und \( \Theta\subset\mathbb R^n \) eine Lebesguesche Nullmenge mit der charakteristischen Eigenschaft \( \ell_n^*(\Theta)=0. \) Beweisen Sie \[ \ell_n^*(\Omega)=\ell_n^*(\Omega\cup\Theta). \]

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Aufgabe 2

Es sei \( N\subset\mathbb R^n \) eine Lebesguesche Nullmenge. Beweisen Sie, dass dann \( N \) Lebesguemessbar im Caratheodoryschen Sinn ist.

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Aufgabe 3

Beweisen Sie, dass die einpunktige Menge \[ \Omega:=\{x_0\}\,,\quad x_0\in\mathbb R^n\,, \] Lebesguemessbar ist, und bestimmen Sie ihr äußeres Lebesguemaß. Benutzen Sie dabei nur die Definition vermittels Überdeckung durch offene Quader.

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Aufgabe 4

Beweisen Sie, dass die abzählbare Menge \[ \Omega:=\{x_1,x_2,x_3,\ldots\}\subset\mathbb R^n \] Lebesguemessbar ist, und bestimmen Sie ihr äußeres Lebesguemaß. Benutzen Sie dabei nur die Definition vermittels Überdeckung durch offene Quader. Wenden Sie schließlich Ihr Resultat auf folgende Menge an \[ \Omega=[0,1]\cap\mathbb Q. \]

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