Abschnitt 2.1: Einführung Lebesguemessbarer Funktionen

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Aufgabe 1

 

Beweisen Sie anhand der Definition, dass folgende Funktion \( f\colon[0,2]\to\mathbb R \) vermöge \[ f(x) :=\left\{ \begin{array}{cl} 0, & \quad x\in[0,1] \\[0.4ex] 1, & \quad x\in(1,2] \end{array} \right. \] Lebesguemessbar ist. Skizzieren Sie die Funktion.

 

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Aufgabe 2

 

Beweisen Sie anhand der Definition, dass folgende Funktion \( f\colon[-1,2]\to\mathbb R \) vermöge \[ f(x) :=\left\{ \begin{array}{cl} x^2\,, & \quad\mbox{falls}\ x\in[-1,1) \\[0.4ex] 2, & \quad\mbox{falls}\ x=1 \\[0.4ex] 2-x, & \quad\mbox{falls}\ x\in(1,2] \end{array} \right. \] Lebesguemessbar ist. Skizzieren Sie die Funktion.

 

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Aufgabe 3

 

Beweisen Sie anhand der Definition, dass die Dirichletsche Sprungfunktion Lebesguemessbar ist.

 

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Aufgabe 4

 

Skizzieren Sie die Funktion \( f\colon[0,1]\to\mathbb R \) vermöge \[ f(x):=1-x, \] und beweisen Sie unter Verwendung eines geeigneten Satzes aus der Vorlesung, dass diese Funktion Lebesguemessbar auf \( [0,1] \) ist.

 

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Aufgabe 5

 

Skizzieren Sie die Funktion \( f\colon[-1,2]\to\mathbb R \) vermöge \[ f(x) :=\left\{ \begin{array}{cl} x^2\,, & \quad\mbox{falls}\ x\in[-1,1) \\[0.4ex] 1, & \quad\mbox{falls}\ x=1 \\[0.4ex] 2-x, & \quad\mbox{falls}\ x\in(1,2] \end{array} \right. \] und beweisen Sie unter Verwendung eines geeigneten Satzes aus der Vorlesung, dass diese Funktion Lebesguemessbar auf \( [-1,2] \) ist.

 

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Aufgabe 6

 

Es sei \( \Omega\subseteq\mathbb R^n \) Lebesguemessbar. Ferner seien zwei Funktionen \( f,g\colon\Omega\to\overline{\mathbb R} \) gegeben, wobei \( f \) Lebesguemessbar ist und \( f=g \) fast überall in \( \Omega \) gilt, d.h. \[ f(x)=g(x)\quad\mbox{für alle}\ x\in\Omega\setminus N \] mit einer Lebesgueschen Nullmenge \( N\subset\Omega. \) Beweisen Sie, dass dann auch \( g \) Lebesguemessbar ist.

 

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