Abschnitt 3.1: Historische Einführung

Aufgabe 1

Betrachten Sie die Funktion \( f\colon[0,1]\to\mathbb R \) vermöge \[ f(x):=1\quad\mbox{auf}\ [0,1]. \] Ermitteln Sie die Lebesgueschen Ober- und Untersumme für eine selbst gewählte Zerlegung \[ \alpha=y_0\lt y_1\lt y_2\lt y_3\lt y_4=\beta \] mit geeigneten \( \alpha,\beta\in\mathbb R. \)

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Aufgabe 2

Es bezeichne \( f\colon[0,1]\to\mathbb R \) die Dirichletsche Sprungfunktion \[ f(x) :=\left\{ \begin{array}{cl} 1, & \quad\mbox{falls}\ x\in[0,1]\cap\mathbb Q \\[0.4ex] 0, & \quad\mbox{falls}\ x\in[0,1]\setminus\mathbb Q \end{array} \right.. \] Ermitteln Sie die Lebesguesche Ober- und Untersumme für eine selbstgewählte Zerlegung \[ \alpha=y_0\lt y_1\lt y_2\lt y_3\lt y_4=\beta \] mit geeigneten \( \alpha,\beta\in\mathbb R. \)

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Aufgabe 3

Betrachten Sie die Funktion \( f\colon[0,1]\to\mathbb R \) vermöge \[ f(x):=1\quad\mbox{auf}\ [0,1]. \] Ermitteln Sie die Youngsche Ober- und Untersumme für eine selbst gewählte Zerlegung \[ [0,1]=\Omega_1\cup\Omega_2\cup\Omega_3 \] in disjunkte und Lebesguemessbare Mengen \( \Omega_1, \) \( \Omega_2 \) und \( \Omega_3. \)

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Aufgabe 4

Es bezeichne \( f\colon[0,1]\to\mathbb R \) die Dirichletsche Sprungfunktion aus Aufgabe 2. Ermitteln Sie die Youngsche Ober- und Untersumme für die Zerlegung \[ \Omega_1:=[0,1]\cap\mathbb Q,\quad \Omega_2:=[0,1]\setminus\mathbb R \] von \( \Omega=[0,1]. \)

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