Abschnitt 3.3: Eigenschaften des Lebesgueintegrals
Aufgabe 1
Betrachten Sie die durch \[ f^{(k)}(x):=1-x^k\,,\quad x\in[0,1], \] gegebene Funktionenfolge \( \{f^{(k)}\}_{k=1,2,\ldots} \)
| (i) | Ermitteln Sie den punktweisen Grenzwert \( f\colon[0,1]\to\mathbb R \) dieser Folge. |
| (ii) | Ermitteln Sie den Wert \( I\in\mathbb R \) des Integrals |
\[ \int\limits_{[0,1]}f(x)\,d\ell_1(x) \]
| durch direktes Ausrechnen. | |
| (iii) | Ermitteln Sie den Wert \( I \) ein zweites Mal, jetzt aber durch Auswerten des Grenzwerts |
\[ \lim_{k\to\infty}\int\limits_{[0,1]}f^{(k)}(x)\,d\ell_1(x). \]
| (iv) | Begründen Sie Ihre Ergebnisse unter Verwendung des Satzes über monotone Konvergenz. |
→ Lösung
Aufgabe 2
Betrachten Sie die durch \[ f^{(k)}(x) :=\left\{ \begin{array}{cl} 0, & \quad\displaystyle 0\le x\le\frac{1}{k^2} \\[1ex] \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}\,, & \quad\displaystyle\frac{1}{k^2}\lt x\le 1 \end{array} \right.,\quad x\in[0,1], \] gegebene Funktionenfolge \( \{f^{(k)}\}_{k=1,2,\ldots} \)
| (i) | Ermitteln Sie den punktweisen Grenzwert \( f\colon[0,1]\to\mathbb R \) dieser Folge. |
| (ii) | Ermitteln Sie den Wert \( I\in\mathbb R \) des Integrals |
\[ \int\limits_{[0,1]}f(x)\,d\ell_1(x) \]
| durch direktes Ausrechnen. | |
| (iii) | Ermitteln Sie den Wert \( I \) ein zweites Mal, jetzt aber durch Auswerten des Grenzwerts |
\[ \lim_{k\to\infty}\int\limits_{[0,1]}f^{(k)}(x)\,d\ell_1(x). \]
| (iv) | Begründen Sie Ihre Ergebnisse unter Verwendung des Satzes über monotone Konvergenz. |
→ Lösung
Aufgabe 3
Auf der Lebesguemessbaren Menge \( \Omega\subseteq\mathbb R^n \) sei \( f\colon\Omega\to\mathbb R \) nichtnegativ und Lebesguemessbar. Beweisen Sie die Richtigkeit von \[ \int\limits_\Omega f(x)\,d\ell_n(x)\ge 0 \] durch Approximation von \( f \) durch eine Folge monoton wachsender, einfacher Funktionen und Auswerten des Lebesgueintegrals dieser einfachen Funktion.
→ Lösung