Abschnitt 4.2: Die Sätze von Fubini und Cavalieri
Aufgabe 1
Berechnen Sie mit Hilfe des Satzes von Fubini das Integral \[ \int\limits_\Omega\frac{d\ell_2(x,y)}{(x+y)^2} \quad\mbox{mit}\quad \Omega:=[1,2]\times[3,4]. \]
→ Lösung
Aufgabe 2
Berechnen Sie mit Hilfe des Satzes von Fubini das Integral \[ \int\limits_\Omega 1\,d\ell_2(x,y) \quad\mbox{mit}\quad \Omega:=\{(x,y)\in\mathbb R^2\,:\,2\le x\le 3,\ x\le y\le x^2\}\,. \]
→ Lösung
Aufgabe 3
Berechnen Sie mit Hilfe des Satzes von Fubini das Integral \[ \int\limits_\Omega(2x+y+z)\,d\ell_3(x,y,z), \] wobei \( \Omega \) der von den Koordinatenebenen und der Ebene \( x+y+z=1 \) begrenzte Körper ist.
→ Lösung
Aufgabe 4
Berechnen Sie den von dem Graphen der Funktion \[ f(x):=x^3+\frac{1}{2}\,x^2-x,\quad x\in[0,1], \] und der \( x \)-Achse eingeschlossenen Flächeninhalt. Fertigen Sie dazu eine Skizze an.
→ Lösung
Aufgabe 5
Berechnen Sie den von den Graphen der Funktionen \[ f(x):=-x^5+x^3-1,\quad g(x):=x^2-\frac{1}{2}\,,\quad x\in[0,1], \] und der \( x \)-Achse eingeschlossenen Flächeninhalt. Fertigen Sie dazu eine Skizze an.
→ Lösung