Abschnitt 4.3: Die Transformationsformel

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Aufgabe 1

 

Berechnen Sie die Länge \( {\mathcal L}(\Phi) \) der von der Abbildung \[ \Phi(x):=R(\cos x,\sin x),\quad x\in[0,2\pi],\ R>0, \] erzeugten Kurve im \( \mathbb R^2. \) Um welche Kurve handelt es sich? Skizzieren Sie.

 

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Aufgabe 2

 

Berechnen Sie die Länge \( {\mathcal L}(\Phi) \) der von der Abbildung \[ \Phi(x):=(e^x\cos 2\pi x,e^x\sin 2\pi x),\quad x\in[0,2\pi], \] gegebenen logarithmischen Spirale im \( \mathbb R^2. \) Skizzieren Sie.

 

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Aufgabe 3

 

Berechnen Sie den Inhalt \[ A:=\int\limits_B1\,d\ell_2(x,y) \] der zweidimensionalen Einheitskreisscheibe \[ B:=\{(x,y)\in\mathbb R^2\,:\,x^2+y^2\le 1\}\,. \] Führen Sie dazu Polarkoordinaten \[ x=r\cos\varphi,\quad y=r\sin\varphi \] auf einem geeigneten Parameterbereich ein, und verwenden Sie die Transformationsformel für Mehrfachintegrale. Fertigen Sie eine Skizze an.

 

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Aufgabe 4

 

Berechnen Sie das Volumen \[ V:=\int\limits_B1\,d\ell_3(x,y,z) \] des dreidimensionalen Einheitsballs \[ B:=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\,:\,x^2+y^2+z^2\le 1\}\,. \] Führen Sie dazu Kugelkoordinaten \[ x=r\sin\vartheta\cos\varphi,\quad y=r\sin\vartheta\sin\varphi,\quad z=r\cos\vartheta \] auf einem geeigneten Parameterbereich ein, und verwenden Sie die Transformationsformel für Mehrfachintegrale. Fertigen Sie eine Skizze an.

 

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Aufgabe 5

 

Es sei der Funktionsgraph \( \Phi(x,y)=(x,y,\varphi(x,y)) \) gegeben mit der Funktion \[ \varphi(x,y):=xy,\quad (x,y)\in\Omega:=\{(x,y)\in\mathbb R^2\,:\,x^2+y^2\le 1\}\,. \] Berechnen Sie den Inhalt \( {\mathcal A}(\Phi) \) der so durch \( \Phi \) im Raum \( \mathbb R^3 \) erzeugten Sattelfläche. Fertigen Sie eine Skizze an.

 

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