Abschnitt 6.1: Klassische Differentialoperatoren

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Aufgabe 1

 

Skizzieren Sie die folgenden ebenen Vektorfelder \( f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R^2, \) und erläutern Sie kurz.

(i)	\( f(x,y):=(x,y) \)
(ii)	\( f(x,y):=(x,0) \)
(iii)	\( f(x,y):=(x,-y) \)
(iv)	\( f(x,y):=(-y,x) \)

 

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Aufgabe 2

 

Berechnen Sie die Divergenz der folgenden Vektorfelder \( f,g\in C^1(\mathbb R^3,\mathbb R^3), \) und werten Sie die Divergenz jeweils im angegebenen Punkt \( (x_0,y_0,z_0)\in\mathbb R^3 \) aus.

(i)	\( f(x,y,z):=(xy,yz,zx) \) und \( (x_0,y_0,z_0):=(1,0,1) \)
(ii)	\( g(x,y,z):=(x+y^2,\sin xy,e^z) \) und \( (x_0,y_0,z_0):=(0,1,2) \)

 

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Aufgabe 3

 

Berechnen Sie die Gradienten der folgenden Funktionen \( f,g\in C^1(\mathbb R^3,\mathbb R), \) und werten Sie die Gradienten jeweils im angegebenen Punkt \( (x_0,y_0,z_0)\in\mathbb R^3 \) aus.

(i)	\( f(x,y,z):=x^3y-yz^2+e^{xyz} \) und \( (x_0,y_0,z_0):=(1,1,1) \)
(ii)	\( g(x,y,z):= \sqrt{1+x^2+y^2}-\ln(1+z^2) \) und \( (x_0,y_0,z_0):=(0,0,1) \)

 

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Aufgabe 4

 

Berechnen Sie die Rotation der folgenden Vektorfelder \( f,g\in C^1(\mathbb R^3,\mathbb R^3), \) und werten Sie die Rotation jeweils im angegebenen Punkt \( (x_0,y_0,z_0)\in\mathbb R^3 \) aus.

(i)	\( f(x,y,z):=(2xy^2-z^2,xyz,xy+yz) \) und \( (x_0,y_0,z_0):=(1,1,1) \)
(ii)	\( g(x,y,z):=(xy,yz,x^2+y^2+z^2) \) und \( (x_0,y_0,z_0):=(0,1,2) \)

 

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Aufgabe 5

 

Es seien \( \Omega\subseteq\mathbb R^3 \) offen und \( \varphi\in C^2(\Omega\mathbb R) \) ein Potential des Gradientenfeldes \( f\colon\Omega\to\mathbb R^3. \) Beweisen Sie, dass dann gilt \[ \mbox{rot}\,f(x)=0\quad\mbox{in}\ \Omega. \]

 

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Aufgabe 6

 

Es seien \( f,g\colon\mathbb R^3\to\mathbb R \) stetig differenzierbare Funktionen, \( a,b\colon\mathbb R^3\to\mathbb R^3 \) stetig differenzierbare Vektorfelder und \( \lambda,\mu\in\mathbb R. \) Beweisen Sie:

(i)	\( \mbox{grad}\,(\lambda f+\mu g)=\lambda\,\mbox{grad}\,f+\mu\,\mbox{grad}\,g \)
(ii)	\( \mbox{div}\,(\lambda a+\mu b)=\lambda\,\mbox{div}\,a+\mu\,\mbox{div}\,b \)
(iii)	\( \mbox{rot}\,(\lambda a+\mu b)=\lambda\,\mbox{rot}\,a+\mu\,\mbox{rot}\,b \)

 

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Aufgabe 7

 

Beweisen Sie, dass die folgenden Funktionen \( f,g\in C^2(\mathbb R^2,\mathbb R) \) harmonisch in \( \mathbb R^3 \) sind.

(i)	\( f(x,y):=x^3-3xy^2 \)
(ii)	\( g(x,y):=e^x\sin y+x^2-y^2 \)

 

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Aufgabe 8

 

Wie müssen \( a,b,c\in\mathbb R \) gewählt sein, damit die Funktion \[ f(x,y):=ax^2+2bxy+cy^2\,,\quad(x,y)\in\mathbb R^2\,, \] harmonisch in \( \mathbb R^2 \) ist?

 

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Aufgabe 9

 

Es seien \( f,g\in C^2(\mathbb R^n,\mathbb R). \) Beweisen Sie \[ \triangle(fg)=f\,\triangle g+2\,\langle\nabla f,\nabla g\rangle+g\,\triangle f \] mit dem Euklidischen Skalarprodukt \( \langle\cdot,\cdot\rangle. \)

 

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