Abschnitt 6.2: Potentiale und Gebietszusammenhang

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Aufgabe 1

 

Skizzieren Sie jeweils ein Beispiel einer zusammenhängenden und einer nicht zusammenhängenden Menge im \( \mathbb R^1, \) \( \mathbb R^2 \) und \( \mathbb R^3. \)

 

→  Lösung

 

 

Aufgabe 2

 

Skizzieren Sie jeweils ein Beispiel eines sternförmigen und eines nicht sternförmigen Gebiets im \( \mathbb R^2 \) und \( \mathbb R^3. \) Markieren Sie auch jeweils einen Zentrumspunkt.

 

→  Lösung

 

 

Aufgabe 3

 

Auf der offenen Menge \( \Omega\subseteq\mathbb R^n \) sei das stetig differenzierbare Gradientenfeld \( f\colon\Omega\to\mathbb R^n \) mit dem zweimal stetig differenzierbaren Potential \( \varphi\colon\Omega\to\mathbb R \) gegeben. Beweisen Sie, dass dann folgende Integrierbarkeitsbedingungen gelten \[ \frac{\partial f_i(x)}{\partial x_j}=\frac{\partial f_j(x)}{\partial x_i}\quad\mbox{in}\ \Omega \] für alle \( i,j=1,\ldots,n. \)

 

→  Lösung

 

 

Aufgabe 4

 

Begründen Sie durch Verfizieren der Integrierbarkeitsbedingungen, ob in den folgenden Fällen Gradientenfelder vorliegen, und bestimmen Sie ggf. ein Potential.

(i)	\( f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R^2 \) vermöe \( f(x,y):=(x^2+y^2,2xy) \)
(ii)	\( f\colon\mathbb R^3\to\mathbb R^3 \) vermöge \( f(x,y,z):=(x+z,-y-z,x-y) \)

 

→  Lösung

 

 

Aufgabe 5

 

Begründen Sie durch Verfizieren der Integrierbarkeitsbedingungen, ob in den folgenden Fällen Gradientenfelder vorliegen, und bestimmen Sie ggf. ein Potential.

(i)	\( f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R^2 \) vermöge \( f(x,y):=(x+y^3,3xy^2) \)
(ii)	\( f\colon\mathbb R^3\to\mathbb R^3 \) vermöge \( f(x,y,z):=(yz\sin x+x\cos x,xz\sin x,xy\sin x) \)

 

→  Lösung