Abschnitt 6.3: Kurvenintegrale

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Aufgabe 1

 

Berechnen Sie das Integral \[ \int\limits_\gamma\langle f(x,y),d(x,y)\rangle=\int\limits_\gamma\{f_1(x,y)\,dx+f_2(x,y)\,dy\} \] mit der regulären Parametrisierung \[ \gamma(t):=(\cos t,\sin t),\quad t\in[0,2\pi), \] des Einheitskreises im \( \mathbb R^2 \) und mit dem Feld \[ f(x,y):=(-y,x),\quad(x,y)\in\mathbb R^2\,. \]

 

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Aufgabe 2

 

Berechnen Sie das Integral \[ \int\limits_\gamma\langle f(x,y,z)\,d(x,y,z)\rangle=\int\limits_\gamma\{f_1(x,y,z)\,dx+f_2(x,y,z)\,dy+f_3(x,y,z)\,dz\} \] mit der regulären Parametrisierung (Spiralkurve) \[ \gamma(t):=(\cos t,\sin t,t),\quad t\in[0,2\pi], \] und mit dem Feld \[ f(x,y,z):=(-y,x,z^3),\quad(x,y,z)\in\mathbb R^3\,. \]

 

→  Lösung

 

 

Aufgabe 3

 

Es seien \( f\colon\mathbb R^n\to\mathbb R^n \) eine stetige Abbildung und \( C\subset\mathbb R^2 \) eine reguläre Kurve mit regulärer Parametrisierung \( \gamma\in C^1([a,b],\mathbb R^n). \) Zeigen Sie \[ \left|\,\int\limits_\gamma\langle f(x),dx\rangle\,\right|\le\max_{t\in[a,b]}\|f(\gamma(t)\|_2\cdot L[C] \] mit der Euklidischen Norm \( \|\cdot\|_2 \) und dem Längenfunktional

\[ L[C]:=\int\limits_a^b\sqrt{\gamma_1'(t)^2+\ldots+\gamma_n'(t)^2}\,dt. \]

 

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Aufgabe 4

 

Für \( t\in[0,1] \) seien \[ C_1\,:\,\gamma_1(t):=(t,t) \quad\mbox{und}\quad C_2\,:\,\gamma_2(t):=(t,t^2) \] zwei die Punkte \( (0,0) \) und \( (1,1) \) verbindende reguläre Kurven. Zu bestimmen sind die Kurvenintegrale entlang \( C_1 \) und \( C_2 \) der folgenden Abbildungen \( f,g\in C^\infty(\mathbb R^2,\mathbb R^2): \)

(i)	\( f(x,y):=(x^2+y^2,2xy) \)
(ii)	\( g(x,y):=(x^2+y^2,xy) \)

Erklären Sie unter Verwendung eines Satzes aus der Vorlesung.

 

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