Abschnitt 7.1: Der Gaußsche Satz in der Ebene

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Aufgabe 1

 

Es seien die Menge \( \Omega\subset\mathbb R^2 \) und ihr Rand \( \partial\Omega \) wie im Gaußschen Integralsatz gewählt.

(i)	Beweisen Sie die Keplersche Identität

\[ \ell_2(\Omega)=\int\limits_\gamma(x\,dy-y\,dx). \]

(ii)	Berechnen Sie damit den Inhalt der elliptischen Fläche

\[ \Omega:=\left\{(x,y)\in\mathbb R^2\,:\,\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le 1\right\}\quad\mbox{mit}\ 0\lt a\le b\lt\infty\,. \]

 

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Aufgabe 2

 

Verifizieren Sie den Gaußschen Divergenzsatz (zweiter Satz) für die spezielle Situation \[ \Omega=\{(x,y)\in\mathbb R^2\,:\,x^2+y^2\lt 1\}\,,\quad \partial\Omega=\{(x,y)\in\mathbb R^2\,:\,x^2+y^2=1\} \] sowie \[ f(x,y):=(xy,0). \] Es sind also das Flächen- und das Randintegral nach Einführung geeigneter Parameter zu berechnen und miteinander zu vergleichen. Dabei erfüllen \( \Omega \) und \( \partial\Omega \) alle notwendigen Voraussetzungen.

 

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Aufgabe 3

 

Wir betrachten das stetig differenzierbare Vektorfeld \[ f(x,y):=(xy,x^2-y^2),\quad(x,y)\in\mathbb R^2\,, \] sowie die Menge \[ \Omega:=\{(x,y)\in\mathbb R^2\,:\,0\le x\le 2,\ 2\le y\le 5\}\,. \] Verfizieren Sie den Gaußschen Integralsatz. Es sind also das Flächen- und das Randintegral nach Einführung geeigneter Parametrisierungen der Randsegmente zu berechnen und zu vergleichen. Dabei erfüllen \( \Omega \) und \( \partial\Omega \) alle notwendigen Voraussetzungen.

 

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Aufgabe 4

 

Die Menge \( \Omega\subset\mathbb R^2 \) und ihr Rand \( \partial\Omega \) erfüllen alle notwendigen Voraussetzungen des Gaußschen Divergenzsatzes. Ferner sei \( \gamma\in C^1([a,b],\mathbb R^2) \) eine reguläre Parametrisierung von \( \partial\Omega, \) die \( \Omega \) in mathematisch positivem Sinn umläuft. Schließlich seien \( f,g\in C^1(\mathbb R^2,\mathbb R) \) zwei Funktionen. Beweisen Sie dann die folgende erste und zweite Greensche Identität:

(i)	\( \displaystyle\int\limits_\Omega(f\triangle g+\langle\nabla f,\nabla g\rangle)\,d\ell_2(x,y)=\int\limits_a^bf\,\frac{\partial g}{\partial N}\,|\gamma'(t)|\,dt \)
(ii)	\( \displaystyle\int\limits_\Omega(f\triangle g-g\triangle f)\,d\ell_2(x,y)=\int\limits_a^b\left(f\,\frac{\partial g}{\partial N}-g\,\frac{\partial f}{\partial N}\right)|\gamma'(t)|\,dt \)

mit dem Gradienten \( \nabla, \) dem Laplace-Operator \( \triangle \) und der Normalenableitung \[ \frac{\partial f}{\partial N}:=\langle\nabla f,N\rangle\quad\mbox{usw.} \] in Richtung des äußeren Einheitsnormalenvektors \( N \) an den Rand \( \partial\Omega. \)

 

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